Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56504 / 44728
↖ ↑ ↗
← N 49.510944°
W 24.807129°		 ← 198.31 m → N 49.510944°
W 24.804382°		 →
↑
198.33 m
↓
↑
198.33 m
↓
N 49.509160°
W 24.807129°		 ← 198.32 m →
39 332 m²		 N 49.509160°
W 24.804382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431095123291016 y=0.341251373291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431095123291016 × 217)
    floor (0.431095123291016 × 131072)
    floor (56504.5)     		tx = 56504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341251373291016 × 217)
    floor (0.341251373291016 × 131072)
    floor (44728.5)     		ty = 44728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56504 / 44728 ti = "17/56504/44728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56504/44728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56504 ÷ 217
    56504 ÷ 131072     		x = 0.43109130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44728 ÷ 217
    44728 ÷ 131072     		y = 0.34124755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.1378173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43296608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34124755859375 × 2 - 1) × π
    0.3175048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.997471007294128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43296608} λ = -0.43296608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997471007294128))-π/2
    2×atan(2.71141599901803)-π/2
    2×1.21746265344333-π/2
    2.43492530688665-1.57079632675     		φ = 0.86412898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43296608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.807129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86412898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.510944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56504 KachelY 44728 -0.43296608 0.86412898 -24.807129 49.510944
    Oben rechts KachelX + 1 56505 KachelY 44728 -0.43291814 0.86412898 -24.804382 49.510944
    Unten links KachelX 56504 KachelY + 1 44729 -0.43296608 0.86409785 -24.807129 49.509160
    Unten rechts KachelX + 1 56505 KachelY + 1 44729 -0.43291814 0.86409785 -24.804382 49.509160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86412898-0.86409785) × R
    3.11300000001014e-05 × 6371000     		dl = 198.329230000646m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86412898-0.86409785) × R
    3.11300000001014e-05 × 6371000     		dr = 198.329230000646m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43296608--0.43291814) × cos(0.86412898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649302798745507 × 6371000     		do = 198.313787790788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43296608--0.43291814) × cos(0.86409785) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649326473729682 × 6371000     		du = 198.321018740349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86412898)-sin(0.86409785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649302798745507-0.649326473729682)×R²
    abs(-0.43291814--0.43296608)×2.36749841744377e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36749841744377e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36749841744377e-05×40589641000000     		ar = 39332.1378885106m²