Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56503 / 87241
↖ ↑ ↗
← S 51.084547°
W 24.809875°		 ← 191.82 m → S 51.084547°
W 24.807129°		 →
↑
191.83 m
↓
↑
191.83 m
↓
S 51.086273°
W 24.809875°		 ← 191.81 m →
36 796 m²		 S 51.086273°
W 24.807129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431087493896484 y=0.665599822998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431087493896484 × 217)
    floor (0.431087493896484 × 131072)
    floor (56503.5)     		tx = 56503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.665599822998047 × 217)
    floor (0.665599822998047 × 131072)
    floor (87241.5)     		ty = 87241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56503 / 87241 ti = "17/56503/87241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56503/87241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56503 ÷ 217
    56503 ÷ 131072     		x = 0.431083679199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87241 ÷ 217
    87241 ÷ 131072     		y = 0.665596008300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431083679199219 × 2 - 1) × π
    -0.137832641601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.43301401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.665596008300781 × 2 - 1) × π
    -0.331192016601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.04047040625332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43301401} λ = -0.43301401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04047040625332))-π/2
    2×atan(0.353288453766578)-π/2
    2×0.339601390447277-π/2
    0.679202780894553-1.57079632675     		φ = -0.89159355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43301401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.809875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89159355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.084547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56503 KachelY 87241 -0.43301401 -0.89159355 -24.809875 -51.084547
    Oben rechts KachelX + 1 56504 KachelY 87241 -0.43296608 -0.89159355 -24.807129 -51.084547
    Unten links KachelX 56503 KachelY + 1 87242 -0.43301401 -0.89162366 -24.809875 -51.086273
    Unten rechts KachelX + 1 56504 KachelY + 1 87242 -0.43296608 -0.89162366 -24.807129 -51.086273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89159355--0.89162366) × R
    3.01100000000831e-05 × 6371000     		dl = 191.83081000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89159355--0.89162366) × R
    3.01100000000831e-05 × 6371000     		dr = 191.83081000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43301401--0.43296608) × cos(-0.89159355) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.628172925249731 × 6371000     		do = 191.820159645414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43301401--0.43296608) × cos(-0.89162366) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.628149497164067 × 6371000     		du = 191.813005597616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89159355)-sin(-0.89162366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628172925249731-0.628149497164067)×R²
    abs(-0.43296608--0.43301401)×2.34280856643565e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34280856643565e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34280856643565e-05×40589641000000     		ar = 36796.3304186378m²