Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56503 / 18346
↖ ↑ ↗
← N 78.110751°
W 24.809875°		 ← 62.91 m → N 78.110751°
W 24.807129°		 →
↑
62.88 m
↓
↑
62.88 m
↓
N 78.110185°
W 24.809875°		 ← 62.91 m →
3 956 m²		 N 78.110185°
W 24.807129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431087493896484 y=0.139972686767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431087493896484 × 217)
    floor (0.431087493896484 × 131072)
    floor (56503.5)     		tx = 56503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139972686767578 × 217)
    floor (0.139972686767578 × 131072)
    floor (18346.5)     		ty = 18346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56503 / 18346 ti = "17/56503/18346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56503/18346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56503 ÷ 217
    56503 ÷ 131072     		x = 0.431083679199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18346 ÷ 217
    18346 ÷ 131072     		y = 0.139968872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431083679199219 × 2 - 1) × π
    -0.137832641601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.43301401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139968872070312 × 2 - 1) × π
    0.720062255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.26214229307045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43301401} λ = -0.43301401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26214229307045))-π/2
    2×atan(9.60364095840018)-π/2
    2×1.46704305453064-π/2
    2.93408610906128-1.57079632675     		φ = 1.36328978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43301401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.809875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36328978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.110751°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56503 KachelY 18346 -0.43301401 1.36328978 -24.809875 78.110751
    Oben rechts KachelX + 1 56504 KachelY 18346 -0.43296608 1.36328978 -24.807129 78.110751
    Unten links KachelX 56503 KachelY + 1 18347 -0.43301401 1.36327991 -24.809875 78.110185
    Unten rechts KachelX + 1 56504 KachelY + 1 18347 -0.43296608 1.36327991 -24.807129 78.110185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36328978-1.36327991) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dl = 62.8817699997923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36328978-1.36327991) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dr = 62.8817699997923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43301401--0.43296608) × cos(1.36328978) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20602058002463 × 6371000     		do = 62.9108625381371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43301401--0.43296608) × cos(1.36327991) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.206030238279988 × 6371000     		du = 62.9138118025993m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36328978)-sin(1.36327991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20602058002463-0.206030238279988)×R²
    abs(-0.43296608--0.43301401)×9.65825535753639e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.65825535753639e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.65825535753639e-06×40589641000000     		ar = 3956.0391160635m²