Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56501 / 87097
↖ ↑ ↗
← S 50.835432°
W 24.815369°		 ← 192.89 m → S 50.835432°
W 24.812622°		 →
↑
192.85 m
↓
↑
192.85 m
↓
S 50.837167°
W 24.815369°		 ← 192.88 m →
37 198 m²		 S 50.837167°
W 24.812622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87097 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431072235107422 y=0.664501190185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431072235107422 × 217)
    floor (0.431072235107422 × 131072)
    floor (56501.5)     		tx = 56501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664501190185547 × 217)
    floor (0.664501190185547 × 131072)
    floor (87097.5)     		ty = 87097
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56501 / 87097 ti = "17/56501/87097"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56501/87097.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56501 ÷ 217
    56501 ÷ 131072     		x = 0.431068420410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87097 ÷ 217
    87097 ÷ 131072     		y = 0.664497375488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431068420410156 × 2 - 1) × π
    -0.137863159179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.43310989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664497375488281 × 2 - 1) × π
    -0.328994750976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.03356749270803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43310989} λ = -0.43310989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03356749270803))-π/2
    2×atan(0.355735609955995)-π/2
    2×0.341775328191244-π/2
    0.683550656382487-1.57079632675     		φ = -0.88724567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43310989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.815369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88724567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.835432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56501 KachelY 87097 -0.43310989 -0.88724567 -24.815369 -50.835432
    Oben rechts KachelX + 1 56502 KachelY 87097 -0.43306195 -0.88724567 -24.812622 -50.835432
    Unten links KachelX 56501 KachelY + 1 87098 -0.43310989 -0.88727594 -24.815369 -50.837167
    Unten rechts KachelX + 1 56502 KachelY + 1 87098 -0.43306195 -0.88727594 -24.812622 -50.837167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88724567--0.88727594) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dl = 192.850169999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88724567--0.88727594) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dr = 192.850169999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43310989--0.43306195) × cos(-0.88724567) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631549948430536 × 6371000     		do = 192.891610346455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43310989--0.43306195) × cos(-0.88727594) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63152647874489 × 6371000     		du = 192.884442100349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88724567)-sin(-0.88727594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631549948430536-0.63152647874489)×R²
    abs(-0.43306195--0.43310989)×2.34696856467043e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34696856467043e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34696856467043e-05×40589641000000     		ar = 37198.4886511162m²