Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56501 / 29628
↖ ↑ ↗
← N 69.721915°
W 24.815369°		 ← 105.85 m → N 69.721915°
W 24.812622°		 →
↑
105.82 m
↓
↑
105.82 m
↓
N 69.720963°
W 24.815369°		 ← 105.86 m →
11 202 m²		 N 69.720963°
W 24.812622°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431072235107422 y=0.226047515869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431072235107422 × 217)
    floor (0.431072235107422 × 131072)
    floor (56501.5)     		tx = 56501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226047515869141 × 217)
    floor (0.226047515869141 × 131072)
    floor (29628.5)     		ty = 29628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56501 / 29628 ti = "17/56501/29628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56501/29628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56501 ÷ 217
    56501 ÷ 131072     		x = 0.431068420410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29628 ÷ 217
    29628 ÷ 131072     		y = 0.226043701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431068420410156 × 2 - 1) × π
    -0.137863159179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.43310989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226043701171875 × 2 - 1) × π
    0.54791259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72131819155698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43310989} λ = -0.43310989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72131819155698))-π/2
    2×atan(5.59189479659923)-π/2
    2×1.39383664909914-π/2
    2.78767329819827-1.57079632675     		φ = 1.21687697
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43310989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.815369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21687697 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.721915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56501 KachelY 29628 -0.43310989 1.21687697 -24.815369 69.721915
    Oben rechts KachelX + 1 56502 KachelY 29628 -0.43306195 1.21687697 -24.812622 69.721915
    Unten links KachelX 56501 KachelY + 1 29629 -0.43310989 1.21686036 -24.815369 69.720963
    Unten rechts KachelX + 1 56502 KachelY + 1 29629 -0.43306195 1.21686036 -24.812622 69.720963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21687697-1.21686036) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dl = 105.822309999117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21687697-1.21686036) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dr = 105.822309999117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43310989--0.43306195) × cos(1.21687697) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346576901169855 × 6371000     		do = 105.853506506763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43310989--0.43306195) × cos(1.21686036) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.346592481660197 × 6371000     		du = 105.858265189555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21687697)-sin(1.21686036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346576901169855-0.346592481660197)×R²
    abs(-0.43306195--0.43310989)×1.55804903421708e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.55804903421708e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.55804903421708e-05×40589641000000     		ar = 11201.9143675999m²