Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56500 / 87100
↖ ↑ ↗
← S 50.840636°
W 24.818115°		 ← 192.83 m → S 50.840636°
W 24.815369°		 →
↑
192.85 m
↓
↑
192.85 m
↓
S 50.842370°
W 24.818115°		 ← 192.82 m →
37 187 m²		 S 50.842370°
W 24.815369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431064605712891 y=0.664524078369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431064605712891 × 217)
    floor (0.431064605712891 × 131072)
    floor (56500.5)     		tx = 56500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664524078369141 × 217)
    floor (0.664524078369141 × 131072)
    floor (87100.5)     		ty = 87100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56500 / 87100 ti = "17/56500/87100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56500/87100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56500 ÷ 217
    56500 ÷ 131072     		x = 0.431060791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87100 ÷ 217
    87100 ÷ 131072     		y = 0.664520263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431060791015625 × 2 - 1) × π
    -0.13787841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43315782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.32904052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03371130340689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43315782} λ = -0.43315782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03371130340689))-π/2
    2×atan(0.355684455047718)-π/2
    2×0.341729918903253-π/2
    0.683459837806507-1.57079632675     		φ = -0.88733649
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43315782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.818115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88733649 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.840636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56500 KachelY 87100 -0.43315782 -0.88733649 -24.818115 -50.840636
    Oben rechts KachelX + 1 56501 KachelY 87100 -0.43310989 -0.88733649 -24.815369 -50.840636
    Unten links KachelX 56500 KachelY + 1 87101 -0.43315782 -0.88736676 -24.818115 -50.842370
    Unten rechts KachelX + 1 56501 KachelY + 1 87101 -0.43310989 -0.88736676 -24.815369 -50.842370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88733649--0.88736676) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dl = 192.850169999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88733649--0.88736676) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dr = 192.850169999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43315782--0.43310989) × cos(-0.88733649) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63147952988374 × 6371000     		do = 192.829871148863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43315782--0.43310989) × cos(-0.88736676) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.631456058462015 × 6371000     		du = 192.822703867878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88733649)-sin(-0.88736676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63147952988374-0.631456058462015)×R²
    abs(-0.43310989--0.43315782)×2.34714217250964e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34714217250964e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34714217250964e-05×40589641000000     		ar = 37186.5823292282m²