Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56500 / 44749
↖ ↑ ↗
← N 49.473478°
W 24.818115°		 ← 198.42 m → N 49.473478°
W 24.815369°		 →
↑
198.46 m
↓
↑
198.46 m
↓
N 49.471694°
W 24.818115°		 ← 198.43 m →
39 379 m²		 N 49.471694°
W 24.815369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431064605712891 y=0.341411590576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431064605712891 × 217)
    floor (0.431064605712891 × 131072)
    floor (56500.5)     		tx = 56500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341411590576172 × 217)
    floor (0.341411590576172 × 131072)
    floor (44749.5)     		ty = 44749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56500 / 44749 ti = "17/56500/44749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56500/44749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56500 ÷ 217
    56500 ÷ 131072     		x = 0.431060791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44749 ÷ 217
    44749 ÷ 131072     		y = 0.341407775878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431060791015625 × 2 - 1) × π
    -0.13787841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43315782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341407775878906 × 2 - 1) × π
    0.317184448242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.996464332402107
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43315782} λ = -0.43315782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996464332402107))-π/2
    2×atan(2.70868785801591)-π/2
    2×1.21713570991517-π/2
    2.43427141983034-1.57079632675     		φ = 0.86347509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43315782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.818115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86347509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.473478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56500 KachelY 44749 -0.43315782 0.86347509 -24.818115 49.473478
    Oben rechts KachelX + 1 56501 KachelY 44749 -0.43310989 0.86347509 -24.815369 49.473478
    Unten links KachelX 56500 KachelY + 1 44750 -0.43315782 0.86344394 -24.818115 49.471694
    Unten rechts KachelX + 1 56501 KachelY + 1 44750 -0.43310989 0.86344394 -24.815369 49.471694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86347509-0.86344394) × R
    3.11499999999798e-05 × 6371000     		dl = 198.456649999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86347509-0.86344394) × R
    3.11499999999798e-05 × 6371000     		dr = 198.456649999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43315782--0.43310989) × cos(0.86347509) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.649799962857579 × 6371000     		do = 198.424235752236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43315782--0.43310989) × cos(0.86344394) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.649823639821207 × 6371000     		du = 198.431465797914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86347509)-sin(0.86344394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649799962857579-0.649823639821207)×R²
    abs(-0.43310989--0.43315782)×2.36769636281497e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36769636281497e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36769636281497e-05×40589641000000     		ar = 39379.3265347524m²