Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56500 / 16540
↖ ↑ ↗
← N 79.090541°
W 24.818115°		 ← 57.79 m → N 79.090541°
W 24.815369°		 →
↑
57.78 m
↓
↑
57.78 m
↓
N 79.090021°
W 24.818115°		 ← 57.79 m →
3 340 m²		 N 79.090021°
W 24.815369°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431064605712891 y=0.126194000244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431064605712891 × 217)
    floor (0.431064605712891 × 131072)
    floor (56500.5)     		tx = 56500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126194000244141 × 217)
    floor (0.126194000244141 × 131072)
    floor (16540.5)     		ty = 16540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56500 / 16540 ti = "17/56500/16540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56500/16540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56500 ÷ 217
    56500 ÷ 131072     		x = 0.431060791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16540 ÷ 217
    16540 ÷ 131072     		y = 0.126190185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431060791015625 × 2 - 1) × π
    -0.13787841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43315782
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126190185546875 × 2 - 1) × π
    0.74761962890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34871633378427
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43315782} λ = -0.43315782}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34871633378427))-π/2
    2×atan(10.4721183884793)-π/2
    2×1.47559333797467-π/2
    2.95118667594935-1.57079632675     		φ = 1.38039035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43315782} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.818115°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38039035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.090541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56500 KachelY 16540 -0.43315782 1.38039035 -24.818115 79.090541
    Oben rechts KachelX + 1 56501 KachelY 16540 -0.43310989 1.38039035 -24.815369 79.090541
    Unten links KachelX 56500 KachelY + 1 16541 -0.43315782 1.38038128 -24.818115 79.090021
    Unten rechts KachelX + 1 56501 KachelY + 1 16541 -0.43310989 1.38038128 -24.815369 79.090021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38039035-1.38038128) × R
    9.07000000016644e-06 × 6371000     		dl = 57.7849700010604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38039035-1.38038128) × R
    9.07000000016644e-06 × 6371000     		dr = 57.7849700010604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43315782--0.43310989) × cos(1.38039035) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189257550333904 × 6371000     		do = 57.7920697628235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43315782--0.43310989) × cos(1.38038128) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18926645640838 × 6371000     		du = 57.7947893398048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38039035)-sin(1.38038128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189257550333904-0.18926645640838)×R²
    abs(-0.43310989--0.43315782)×8.90607447592839e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.90607447592839e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.90607447592839e-06×40589641000000     		ar = 3339.59159287637m²