Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 565 / 713
↖ ↑ ↗
← N 75.297735°
W130.341797°		 ← 2 480.35 m → N 75.297735°
W130.253906°		 →
↑
2 482.14 m
↓
↑
2 482.14 m
↓
N 75.275413°
W130.341797°		 ← 2 484.03 m →
6 161 142 m²		 N 75.275413°
W130.253906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1380615234375 y=0.1741943359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1380615234375 × 212)
    floor (0.1380615234375 × 4096)
    floor (565.5)     		tx = 565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1741943359375 × 212)
    floor (0.1741943359375 × 4096)
    floor (713.5)     		ty = 713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 565 / 713 ti = "12/565/713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/565/713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 565 ÷ 212
    565 ÷ 4096     		x = 0.137939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 713 ÷ 212
    713 ÷ 4096     		y = 0.174072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.137939453125 × 2 - 1) × π
    -0.72412109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.27489351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.174072265625 × 2 - 1) × π
    0.65185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.0478643517688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.27489351} λ = -2.27489351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0478643517688))-π/2
    2×atan(7.75132930411761)-π/2
    2×1.44249486500278-π/2
    2.88498973000556-1.57079632675     		φ = 1.31419340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.27489351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -130.341797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31419340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.297735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 565 KachelY 713 -2.27489351 1.31419340 -130.341797 75.297735
    Oben rechts KachelX + 1 566 KachelY 713 -2.27335953 1.31419340 -130.253906 75.297735
    Unten links KachelX 565 KachelY + 1 714 -2.27489351 1.31380380 -130.341797 75.275413
    Unten rechts KachelX + 1 566 KachelY + 1 714 -2.27335953 1.31380380 -130.253906 75.275413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31419340-1.31380380) × R
    0.000389599999999879 × 6371000     		dl = 2482.14159999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31419340-1.31380380) × R
    0.000389599999999879 × 6371000     		dr = 2482.14159999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.27489351--2.27335953) × cos(1.31419340) × R
    0.00153398000000005 × 0.253796177338885 × 6371000     		do = 2480.3466351883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.27489351--2.27335953) × cos(1.31380380) × R
    0.00153398000000005 × 0.254173001676135 × 6371000     		du = 2484.02933437926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31419340)-sin(1.31380380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.253796177338885-0.254173001676135)×R²
    abs(-2.27335953--2.27489351)×0.000376824337249893×R²
    0.00153398000000005×0.000376824337249893×6371000²
    0.00153398000000005×0.000376824337249893×40589641000000     		ar = 6161142.13398746m²