Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 565 / 604
↖ ↑ ↗
← S 30.751278°
E 18.632813°		 ← 33.595 km → S 30.751278°
E 18.984375°		 →
↑
33.543 km
↓
↑
33.543 km
↓
S 31.052934°
E 18.632813°		 ← 33.490 km →
1 125.11 km²		 S 31.052934°
E 18.984375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.55224609375 y=0.59033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.55224609375 × 210)
    floor (0.55224609375 × 1024)
    floor (565.5)     		tx = 565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.59033203125 × 210)
    floor (0.59033203125 × 1024)
    floor (604.5)     		ty = 604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 565 / 604 ti = "10/565/604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/565/604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 565 ÷ 210
    565 ÷ 1024     		x = 0.5517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 604 ÷ 210
    604 ÷ 1024     		y = 0.58984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5517578125 × 2 - 1) × π
    0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58984375 × 2 - 1) × π
    -0.1796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.564504929925781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.32520393} λ = 0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564504929925781))-π/2
    2×atan(0.568641594520013)-π/2
    2×0.517042640208852-π/2
    1.0340852804177-1.57079632675     		φ = -0.53671105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53671105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.751278°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 565 KachelY 604 0.32520393 -0.53671105 18.632813 -30.751278
    Oben rechts KachelX + 1 566 KachelY 604 0.33133985 -0.53671105 18.984375 -30.751278
    Unten links KachelX 565 KachelY + 1 605 0.32520393 -0.54197594 18.632813 -31.052934
    Unten rechts KachelX + 1 566 KachelY + 1 605 0.33133985 -0.54197594 18.984375 -31.052934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53671105--0.54197594) × R
    0.00526489000000008 × 6371000     		dl = 33542.6141900005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53671105--0.54197594) × R
    0.00526489000000008 × 6371000     		dr = 33542.6141900005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.32520393-0.33133985) × cos(-0.53671105) × R
    0.00613592000000002 × 0.859395006889381 × 6371000     		do = 33595.4234769958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.32520393-0.33133985) × cos(-0.54197594) × R
    0.00613592000000002 × 0.856691105761415 × 6371000     		du = 33489.7227192468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53671105)-sin(-0.54197594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859395006889381-0.856691105761415)×R²
    abs(0.33133985-0.32520393)×0.00270390112796626×R²
    0.00613592000000002×0.00270390112796626×6371000²
    0.00613592000000002×0.00270390112796626×40589641000000     		ar = 1125108187.28379m²