Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56499 / 29619
↖ ↑ ↗
← N 69.730480°
W 24.820862°		 ← 105.81 m → N 69.730480°
W 24.818115°		 →
↑
105.82 m
↓
↑
105.82 m
↓
N 69.729529°
W 24.820862°		 ← 105.82 m →
11 197 m²		 N 69.729529°
W 24.818115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431056976318359 y=0.225978851318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431056976318359 × 217)
    floor (0.431056976318359 × 131072)
    floor (56499.5)     		tx = 56499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225978851318359 × 217)
    floor (0.225978851318359 × 131072)
    floor (29619.5)     		ty = 29619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56499 / 29619 ti = "17/56499/29619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56499/29619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56499 ÷ 217
    56499 ÷ 131072     		x = 0.431053161621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29619 ÷ 217
    29619 ÷ 131072     		y = 0.225975036621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431053161621094 × 2 - 1) × π
    -0.137893676757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.43320576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225975036621094 × 2 - 1) × π
    0.548049926757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.72174962365356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43320576} λ = -0.43320576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72174962365356))-π/2
    2×atan(5.59430783998994)-π/2
    2×1.39391139617231-π/2
    2.78782279234462-1.57079632675     		φ = 1.21702647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43320576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.820862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21702647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.730480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56499 KachelY 29619 -0.43320576 1.21702647 -24.820862 69.730480
    Oben rechts KachelX + 1 56500 KachelY 29619 -0.43315782 1.21702647 -24.818115 69.730480
    Unten links KachelX 56499 KachelY + 1 29620 -0.43320576 1.21700986 -24.820862 69.729529
    Unten rechts KachelX + 1 56500 KachelY + 1 29620 -0.43315782 1.21700986 -24.818115 69.729529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21702647-1.21700986) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dl = 105.822309999117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21702647-1.21700986) × R
    1.66099999998615e-05 × 6371000     		dr = 105.822309999117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43320576--0.43315782) × cos(1.21702647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346436663073754 × 6371000     		do = 105.810674182363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43320576--0.43315782) × cos(1.21700986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346452244424559 × 6371000     		du = 105.815433127963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21702647)-sin(1.21700986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346436663073754-0.346452244424559)×R²
    abs(-0.43315782--0.43320576)×1.55813508053715e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55813508053715e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55813508053715e-05×40589641000000     		ar = 11197.381766046m²