Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56498 / 87095
↖ ↑ ↗
← S 50.831963°
W 24.823608°		 ← 192.91 m → S 50.831963°
W 24.820862°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
S 50.833698°
W 24.823608°		 ← 192.90 m →
37 214 m²		 S 50.833698°
W 24.820862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431049346923828 y=0.664485931396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431049346923828 × 217)
    floor (0.431049346923828 × 131072)
    floor (56498.5)     		tx = 56498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664485931396484 × 217)
    floor (0.664485931396484 × 131072)
    floor (87095.5)     		ty = 87095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56498 / 87095 ti = "17/56498/87095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56498/87095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56498 ÷ 217
    56498 ÷ 131072     		x = 0.431045532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87095 ÷ 217
    87095 ÷ 131072     		y = 0.664482116699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431045532226562 × 2 - 1) × π
    -0.137908935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43325370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664482116699219 × 2 - 1) × π
    -0.328964233398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.03347161890879
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43325370} λ = -0.43325370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03347161890879))-π/2
    2×atan(0.355769717315421)-π/2
    2×0.34180560386294-π/2
    0.68361120772588-1.57079632675     		φ = -0.88718512
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43325370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.823608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88718512 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.831963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56498 KachelY 87095 -0.43325370 -0.88718512 -24.823608 -50.831963
    Oben rechts KachelX + 1 56499 KachelY 87095 -0.43320576 -0.88718512 -24.820862 -50.831963
    Unten links KachelX 56498 KachelY + 1 87096 -0.43325370 -0.88721540 -24.823608 -50.833698
    Unten rechts KachelX + 1 56499 KachelY + 1 87096 -0.43320576 -0.88721540 -24.820862 -50.833698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88718512--0.88721540) × R
    3.02799999999381e-05 × 6371000     		dl = 192.913879999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88718512--0.88721540) × R
    3.02799999999381e-05 × 6371000     		dr = 192.913879999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43325370--0.43320576) × cos(-0.88718512) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631596893818761 × 6371000     		do = 192.905948676394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43325370--0.43320576) × cos(-0.88721540) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631573417537511 × 6371000     		du = 192.89877841582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88718512)-sin(-0.88721540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631596893818761-0.631573417537511)×R²
    abs(-0.43320576--0.43325370)×2.34762812504341e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34762812504341e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34762812504341e-05×40589641000000     		ar = 37213.5434156421m²