Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56498 / 44746
↖ ↑ ↗
← N 49.478833°
W 24.823608°		 ← 198.44 m → N 49.478833°
W 24.820862°		 →
↑
198.46 m
↓
↑
198.46 m
↓
N 49.477048°
W 24.823608°		 ← 198.45 m →
39 383 m²		 N 49.477048°
W 24.820862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431049346923828 y=0.341388702392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431049346923828 × 217)
    floor (0.431049346923828 × 131072)
    floor (56498.5)     		tx = 56498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341388702392578 × 217)
    floor (0.341388702392578 × 131072)
    floor (44746.5)     		ty = 44746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56498 / 44746 ti = "17/56498/44746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56498/44746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56498 ÷ 217
    56498 ÷ 131072     		x = 0.431045532226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44746 ÷ 217
    44746 ÷ 131072     		y = 0.341384887695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431045532226562 × 2 - 1) × π
    -0.137908935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43325370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341384887695312 × 2 - 1) × π
    0.317230224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.996608143100967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43325370} λ = -0.43325370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996608143100967))-π/2
    2×atan(2.709077424321)-π/2
    2×1.21718243145468-π/2
    2.43436486290937-1.57079632675     		φ = 0.86356854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43325370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.823608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86356854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.478833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56498 KachelY 44746 -0.43325370 0.86356854 -24.823608 49.478833
    Oben rechts KachelX + 1 56499 KachelY 44746 -0.43320576 0.86356854 -24.820862 49.478833
    Unten links KachelX 56498 KachelY + 1 44747 -0.43325370 0.86353739 -24.823608 49.477048
    Unten rechts KachelX + 1 56499 KachelY + 1 44747 -0.43320576 0.86353739 -24.820862 49.477048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86356854-0.86353739) × R
    3.11500000000908e-05 × 6371000     		dl = 198.456650000579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86356854-0.86353739) × R
    3.11500000000908e-05 × 6371000     		dr = 198.456650000579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43325370--0.43320576) × cos(0.86356854) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649728928183693 × 6371000     		do = 198.443938690011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43325370--0.43320576) × cos(0.86353739) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649752607038799 × 6371000     		du = 198.451170821854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86356854)-sin(0.86353739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649728928183693-0.649752607038799)×R²
    abs(-0.43320576--0.43325370)×2.3678855105902e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3678855105902e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3678855105902e-05×40589641000000     		ar = 39383.2369208897m²