Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56496 / 87408
↖ ↑ ↗
← S 51.371780°
W 24.829101°		 ← 190.63 m → S 51.371780°
W 24.826355°		 →
↑
190.62 m
↓
↑
190.62 m
↓
S 51.373495°
W 24.829101°		 ← 190.62 m →
36 337 m²		 S 51.373495°
W 24.826355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431034088134766 y=0.666873931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431034088134766 × 217)
    floor (0.431034088134766 × 131072)
    floor (56496.5)     		tx = 56496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666873931884766 × 217)
    floor (0.666873931884766 × 131072)
    floor (87408.5)     		ty = 87408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56496 / 87408 ti = "17/56496/87408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56496/87408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56496 ÷ 217
    56496 ÷ 131072     		x = 0.4310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87408 ÷ 217
    87408 ÷ 131072     		y = 0.6668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43334957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.333740234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.04847586848987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43334957} λ = -0.43334957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04847586848987))-π/2
    2×atan(0.35047150691638)-π/2
    2×0.337094808321218-π/2
    0.674189616642436-1.57079632675     		φ = -0.89660671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43334957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.829101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89660671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.371780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56496 KachelY 87408 -0.43334957 -0.89660671 -24.829101 -51.371780
    Oben rechts KachelX + 1 56497 KachelY 87408 -0.43330164 -0.89660671 -24.826355 -51.371780
    Unten links KachelX 56496 KachelY + 1 87409 -0.43334957 -0.89663663 -24.829101 -51.373495
    Unten rechts KachelX + 1 56497 KachelY + 1 87409 -0.43330164 -0.89663663 -24.826355 -51.373495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89660671--0.89663663) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dl = 190.620320000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89660671--0.89663663) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dr = 190.620320000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43334957--0.43330164) × cos(-0.89660671) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.624264439804078 × 6371000     		do = 190.626656595503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43334957--0.43330164) × cos(-0.89663663) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.624241065628676 × 6371000     		du = 190.619519009852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89660671)-sin(-0.89663663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624264439804078-0.624241065628676)×R²
    abs(-0.43330164--0.43334957)×2.33741754016581e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33741754016581e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33741754016581e-05×40589641000000     		ar = 36336.6339989726m²