Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56496 / 43094
↖ ↑ ↗
← N 52.338695°
W 24.829101°		 ← 186.57 m → N 52.338695°
W 24.826355°		 →
↑
186.61 m
↓
↑
186.61 m
↓
N 52.337017°
W 24.829101°		 ← 186.58 m →
34 817 m²		 N 52.337017°
W 24.826355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431034088134766 y=0.328784942626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431034088134766 × 217)
    floor (0.431034088134766 × 131072)
    floor (56496.5)     		tx = 56496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328784942626953 × 217)
    floor (0.328784942626953 × 131072)
    floor (43094.5)     		ty = 43094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56496 / 43094 ti = "17/56496/43094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56496/43094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56496 ÷ 217
    56496 ÷ 131072     		x = 0.4310302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43094 ÷ 217
    43094 ÷ 131072     		y = 0.328781127929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.137939453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43334957
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328781127929688 × 2 - 1) × π
    0.342437744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0757999012733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43334957} λ = -0.43334957}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0757999012733))-π/2
    2×atan(2.93233754320191)-π/2
    2×1.24213944456352-π/2
    2.48427888912705-1.57079632675     		φ = 0.91348256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43334957} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.829101°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91348256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.338695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56496 KachelY 43094 -0.43334957 0.91348256 -24.829101 52.338695
    Oben rechts KachelX + 1 56497 KachelY 43094 -0.43330164 0.91348256 -24.826355 52.338695
    Unten links KachelX 56496 KachelY + 1 43095 -0.43334957 0.91345327 -24.829101 52.337017
    Unten rechts KachelX + 1 56497 KachelY + 1 43095 -0.43330164 0.91345327 -24.826355 52.337017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91348256-0.91345327) × R
    2.92900000000706e-05 × 6371000     		dl = 186.60659000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91348256-0.91345327) × R
    2.92900000000706e-05 × 6371000     		dr = 186.60659000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43334957--0.43330164) × cos(0.91348256) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.61099253908361 × 6371000     		do = 186.57392204954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43334957--0.43330164) × cos(0.91345327) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.611015725850333 × 6371000     		du = 186.581002407695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91348256)-sin(0.91345327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61099253908361-0.611015725850333)×R²
    abs(-0.43330164--0.43334957)×2.31867667227492e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31867667227492e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31867667227492e-05×40589641000000     		ar = 34816.5839999887m²