Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56495 / 16461
↖ ↑ ↗
← N 79.131530°
W 24.831848°		 ← 57.59 m → N 79.131530°
W 24.829101°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
N 79.131012°
W 24.831848°		 ← 57.59 m →
3 317 m²		 N 79.131012°
W 24.829101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431026458740234 y=0.125591278076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431026458740234 × 217)
    floor (0.431026458740234 × 131072)
    floor (56495.5)     		tx = 56495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125591278076172 × 217)
    floor (0.125591278076172 × 131072)
    floor (16461.5)     		ty = 16461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56495 / 16461 ti = "17/56495/16461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56495/16461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56495 ÷ 217
    56495 ÷ 131072     		x = 0.431022644042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16461 ÷ 217
    16461 ÷ 131072     		y = 0.125587463378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431022644042969 × 2 - 1) × π
    -0.137954711914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.43339751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125587463378906 × 2 - 1) × π
    0.748825073242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.35250334885426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43339751} λ = -0.43339751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35250334885426))-π/2
    2×atan(10.5118516463682)-π/2
    2×1.47595103307321-π/2
    2.95190206614641-1.57079632675     		φ = 1.38110574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43339751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.831848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38110574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.131530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56495 KachelY 16461 -0.43339751 1.38110574 -24.831848 79.131530
    Oben rechts KachelX + 1 56496 KachelY 16461 -0.43334957 1.38110574 -24.829101 79.131530
    Unten links KachelX 56495 KachelY + 1 16462 -0.43339751 1.38109670 -24.831848 79.131012
    Unten rechts KachelX + 1 56496 KachelY + 1 16462 -0.43334957 1.38109670 -24.829101 79.131012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38110574-1.38109670) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dl = 57.5938399993927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38110574-1.38109670) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dr = 57.5938399993927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43339751--0.43334957) × cos(1.38110574) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188555040863188 × 6371000     		do = 57.5895628863318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43339751--0.43334957) × cos(1.38109670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1885639187016 × 6371000     		du = 57.5922744066984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38110574)-sin(1.38109670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188555040863188-0.1885639187016)×R²
    abs(-0.43334957--0.43339751)×8.87783841213574e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.87783841213574e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.87783841213574e-06×40589641000000     		ar = 3316.88215394502m²