Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56493 / 16459
↖ ↑ ↗
← N 79.132566°
W 24.837341°		 ← 57.57 m → N 79.132566°
W 24.834595°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
N 79.132048°
W 24.837341°		 ← 57.57 m →
3 316 m²		 N 79.132048°
W 24.834595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.431011199951172 y=0.125576019287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.431011199951172 × 217)
    floor (0.431011199951172 × 131072)
    floor (56493.5)     		tx = 56493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125576019287109 × 217)
    floor (0.125576019287109 × 131072)
    floor (16459.5)     		ty = 16459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56493 / 16459 ti = "17/56493/16459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56493/16459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56493 ÷ 217
    56493 ÷ 131072     		x = 0.431007385253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16459 ÷ 217
    16459 ÷ 131072     		y = 0.125572204589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.431007385253906 × 2 - 1) × π
    -0.137985229492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.43349338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125572204589844 × 2 - 1) × π
    0.748855590820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.3525992226535
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43349338} λ = -0.43349338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3525992226535))-π/2
    2×atan(10.5128595058355)-π/2
    2×1.4759600713918-π/2
    2.9519201427836-1.57079632675     		φ = 1.38112382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43349338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.837341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38112382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.132566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56493 KachelY 16459 -0.43349338 1.38112382 -24.837341 79.132566
    Oben rechts KachelX + 1 56494 KachelY 16459 -0.43344545 1.38112382 -24.834595 79.132566
    Unten links KachelX 56493 KachelY + 1 16460 -0.43349338 1.38111478 -24.837341 79.132048
    Unten rechts KachelX + 1 56494 KachelY + 1 16460 -0.43344545 1.38111478 -24.834595 79.132048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38112382-1.38111478) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dl = 57.5938399993927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38112382-1.38111478) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dr = 57.5938399993927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43349338--0.43344545) × cos(1.38112382) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.188537285140138 × 6371000     		do = 57.5721281210498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43349338--0.43344545) × cos(1.38111478) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.188546163009367 × 6371000     		du = 57.5748390852198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38112382)-sin(1.38111478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188537285140138-0.188546163009367)×R²
    abs(-0.43344545--0.43349338)×8.87786922945666e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.87786922945666e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.87786922945666e-06×40589641000000     		ar = 3315.87800283272m²