Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56491 / 87429
↖ ↑ ↗
← S 51.407772°
W 24.842835°		 ← 190.52 m → S 51.407772°
W 24.840088°		 →
↑
190.56 m
↓
↑
190.56 m
↓
S 51.409486°
W 24.842835°		 ← 190.51 m →
36 303 m²		 S 51.409486°
W 24.840088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430995941162109 y=0.667034149169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430995941162109 × 217)
    floor (0.430995941162109 × 131072)
    floor (56491.5)     		tx = 56491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667034149169922 × 217)
    floor (0.667034149169922 × 131072)
    floor (87429.5)     		ty = 87429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56491 / 87429 ti = "17/56491/87429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56491/87429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56491 ÷ 217
    56491 ÷ 131072     		x = 0.430992126464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87429 ÷ 217
    87429 ÷ 131072     		y = 0.667030334472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430992126464844 × 2 - 1) × π
    -0.138015747070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.43358926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667030334472656 × 2 - 1) × π
    -0.334060668945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.04948254338189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43358926} λ = -0.43358926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04948254338189))-π/2
    2×atan(0.350118873573344)-π/2
    2×0.33678071619473-π/2
    0.673561432389461-1.57079632675     		φ = -0.89723489
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43358926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.842835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89723489 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.407772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56491 KachelY 87429 -0.43358926 -0.89723489 -24.842835 -51.407772
    Oben rechts KachelX + 1 56492 KachelY 87429 -0.43354132 -0.89723489 -24.840088 -51.407772
    Unten links KachelX 56491 KachelY + 1 87430 -0.43358926 -0.89726480 -24.842835 -51.409486
    Unten rechts KachelX + 1 56492 KachelY + 1 87430 -0.43354132 -0.89726480 -24.840088 -51.409486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89723489--0.89726480) × R
    2.99099999999664e-05 × 6371000     		dl = 190.556609999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89723489--0.89726480) × R
    2.99099999999664e-05 × 6371000     		dr = 190.556609999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43358926--0.43354132) × cos(-0.89723489) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623773574220032 × 6371000     		do = 190.516505498473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43358926--0.43354132) × cos(-0.89726480) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623750196132559 × 6371000     		du = 190.509365228807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89723489)-sin(-0.89726480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623773574220032-0.623750196132559)×R²
    abs(-0.43354132--0.43358926)×2.33780874727696e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33780874727696e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33780874727696e-05×40589641000000     		ar = 36303.4991268493m²