Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56491 / 87427
↖ ↑ ↗
← S 51.404346°
W 24.842835°		 ← 190.53 m → S 51.404346°
W 24.840088°		 →
↑
190.49 m
↓
↑
190.49 m
↓
S 51.406059°
W 24.842835°		 ← 190.52 m →
36 294 m²		 S 51.406059°
W 24.840088°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430995941162109 y=0.667018890380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430995941162109 × 217)
    floor (0.430995941162109 × 131072)
    floor (56491.5)     		tx = 56491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.667018890380859 × 217)
    floor (0.667018890380859 × 131072)
    floor (87427.5)     		ty = 87427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56491 / 87427 ti = "17/56491/87427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56491/87427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56491 ÷ 217
    56491 ÷ 131072     		x = 0.430992126464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87427 ÷ 217
    87427 ÷ 131072     		y = 0.667015075683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430992126464844 × 2 - 1) × π
    -0.138015747070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.43358926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.667015075683594 × 2 - 1) × π
    -0.334030151367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.04938666958265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43358926} λ = -0.43358926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04938666958265))-π/2
    2×atan(0.350152442409099)-π/2
    2×0.33681061908614-π/2
    0.673621238172279-1.57079632675     		φ = -0.89717509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43358926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.842835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89717509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.404346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56491 KachelY 87427 -0.43358926 -0.89717509 -24.842835 -51.404346
    Oben rechts KachelX + 1 56492 KachelY 87427 -0.43354132 -0.89717509 -24.840088 -51.404346
    Unten links KachelX 56491 KachelY + 1 87428 -0.43358926 -0.89720499 -24.842835 -51.406059
    Unten rechts KachelX + 1 56492 KachelY + 1 87428 -0.43354132 -0.89720499 -24.840088 -51.406059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89717509--0.89720499) × R
    2.99000000000271e-05 × 6371000     		dl = 190.492900000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89717509--0.89720499) × R
    2.99000000000271e-05 × 6371000     		dr = 190.492900000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43358926--0.43354132) × cos(-0.89717509) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623820313089502 × 6371000     		do = 190.530780752268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43358926--0.43354132) × cos(-0.89720499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623796943933607 × 6371000     		du = 190.523643210536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89717509)-sin(-0.89720499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623820313089502-0.623796943933607)×R²
    abs(-0.43354132--0.43358926)×2.33691558948479e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33691558948479e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33691558948479e-05×40589641000000     		ar = 36294.081142163m²