Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56489 / 87093
↖ ↑ ↗
← S 50.828493°
W 24.848328°		 ← 192.92 m → S 50.828493°
W 24.845581°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
S 50.830228°
W 24.848328°		 ← 192.91 m →
37 216 m²		 S 50.830228°
W 24.845581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430980682373047 y=0.664470672607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430980682373047 × 217)
    floor (0.430980682373047 × 131072)
    floor (56489.5)     		tx = 56489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664470672607422 × 217)
    floor (0.664470672607422 × 131072)
    floor (87093.5)     		ty = 87093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56489 / 87093 ti = "17/56489/87093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56489/87093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56489 ÷ 217
    56489 ÷ 131072     		x = 0.430976867675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87093 ÷ 217
    87093 ÷ 131072     		y = 0.664466857910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430976867675781 × 2 - 1) × π
    -0.138046264648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.43368513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664466857910156 × 2 - 1) × π
    -0.328933715820312 × 3.1415926535     		Φ = -1.03337574510955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43368513} λ = -0.43368513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03337574510955))-π/2
    2×atan(0.355803827945007)-π/2
    2×0.34183588178513-π/2
    0.683671763570261-1.57079632675     		φ = -0.88712456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43368513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.848328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88712456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.828493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56489 KachelY 87093 -0.43368513 -0.88712456 -24.848328 -50.828493
    Oben rechts KachelX + 1 56490 KachelY 87093 -0.43363719 -0.88712456 -24.845581 -50.828493
    Unten links KachelX 56489 KachelY + 1 87094 -0.43368513 -0.88715484 -24.848328 -50.830228
    Unten rechts KachelX + 1 56490 KachelY + 1 87094 -0.43363719 -0.88715484 -24.845581 -50.830228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88712456--0.88715484) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dl = 192.913880000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88712456--0.88715484) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dr = 192.913880000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43368513--0.43363719) × cos(-0.88712456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631643844643948 × 6371000     		do = 192.920288666696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43368513--0.43363719) × cos(-0.88715484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631620369520914 × 6371000     		du = 192.913118759872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88712456)-sin(-0.88715484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631643844643948-0.631620369520914)×R²
    abs(-0.43363719--0.43368513)×2.34751230339114e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34751230339114e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34751230339114e-05×40589641000000     		ar = 37216.3098329762m²