Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56489 / 43111
↖ ↑ ↗
← N 52.310158°
W 24.848328°		 ← 186.73 m → N 52.310158°
W 24.845581°		 →
↑
186.73 m
↓
↑
186.73 m
↓
N 52.308479°
W 24.848328°		 ← 186.74 m →
34 870 m²		 N 52.308479°
W 24.845581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430980682373047 y=0.328914642333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430980682373047 × 217)
    floor (0.430980682373047 × 131072)
    floor (56489.5)     		tx = 56489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328914642333984 × 217)
    floor (0.328914642333984 × 131072)
    floor (43111.5)     		ty = 43111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56489 / 43111 ti = "17/56489/43111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56489/43111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56489 ÷ 217
    56489 ÷ 131072     		x = 0.430976867675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43111 ÷ 217
    43111 ÷ 131072     		y = 0.328910827636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430976867675781 × 2 - 1) × π
    -0.138046264648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.43368513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328910827636719 × 2 - 1) × π
    0.342178344726562 × 3.1415926535     		Φ = 1.07498497397976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43368513} λ = -0.43368513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07498497397976))-π/2
    2×atan(2.92994887473184)-π/2
    2×1.24189040700477-π/2
    2.48378081400954-1.57079632675     		φ = 0.91298449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43368513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.848328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91298449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.310158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56489 KachelY 43111 -0.43368513 0.91298449 -24.848328 52.310158
    Oben rechts KachelX + 1 56490 KachelY 43111 -0.43363719 0.91298449 -24.845581 52.310158
    Unten links KachelX 56489 KachelY + 1 43112 -0.43368513 0.91295518 -24.848328 52.308479
    Unten rechts KachelX + 1 56490 KachelY + 1 43112 -0.43363719 0.91295518 -24.845581 52.308479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91298449-0.91295518) × R
    2.93100000000601e-05 × 6371000     		dl = 186.734010000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91298449-0.91295518) × R
    2.93100000000601e-05 × 6371000     		dr = 186.734010000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43368513--0.43363719) × cos(0.91298449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611386753600615 × 6371000     		do = 186.733251644543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43368513--0.43363719) × cos(0.91295518) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611409947277127 × 6371000     		du = 186.740335590355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91298449)-sin(0.91295518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611386753600615-0.611409947277127)×R²
    abs(-0.43363719--0.43368513)×2.31936765120455e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31936765120455e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31936765120455e-05×40589641000000     		ar = 34870.1102891365m²