Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56488 / 43112
↖ ↑ ↗
← N 52.308479°
W 24.851074°		 ← 186.74 m → N 52.308479°
W 24.848328°		 →
↑
186.73 m
↓
↑
186.73 m
↓
N 52.306799°
W 24.851074°		 ← 186.75 m →
34 871 m²		 N 52.306799°
W 24.848328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430973052978516 y=0.328922271728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430973052978516 × 217)
    floor (0.430973052978516 × 131072)
    floor (56488.5)     		tx = 56488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328922271728516 × 217)
    floor (0.328922271728516 × 131072)
    floor (43112.5)     		ty = 43112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56488 / 43112 ti = "17/56488/43112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56488/43112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56488 ÷ 217
    56488 ÷ 131072     		x = 0.43096923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43112 ÷ 217
    43112 ÷ 131072     		y = 0.32891845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43096923828125 × 2 - 1) × π
    -0.1380615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43373307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32891845703125 × 2 - 1) × π
    0.3421630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07493703708014
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43373307} λ = -0.43373307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07493703708014))-π/2
    2×atan(2.92980842543312)-π/2
    2×1.24187575273405-π/2
    2.48375150546811-1.57079632675     		φ = 0.91295518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43373307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.851074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91295518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.308479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56488 KachelY 43112 -0.43373307 0.91295518 -24.851074 52.308479
    Oben rechts KachelX + 1 56489 KachelY 43112 -0.43368513 0.91295518 -24.848328 52.308479
    Unten links KachelX 56488 KachelY + 1 43113 -0.43373307 0.91292587 -24.851074 52.306799
    Unten rechts KachelX + 1 56489 KachelY + 1 43113 -0.43368513 0.91292587 -24.848328 52.306799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91295518-0.91292587) × R
    2.93099999999491e-05 × 6371000     		dl = 186.734009999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91295518-0.91292587) × R
    2.93099999999491e-05 × 6371000     		dr = 186.734009999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43373307--0.43368513) × cos(0.91295518) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.611409947277127 × 6371000     		do = 186.740335590571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43373307--0.43368513) × cos(0.91292587) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.611433140428391 × 6371000     		du = 186.747419375959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91295518)-sin(0.91292587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611409947277127-0.611433140428391)×R²
    abs(-0.43368513--0.43373307)×2.31931512642003e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31931512642003e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31931512642003e-05×40589641000000     		ar = 34871.4330878725m²