Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56488 / 15928
↖ ↑ ↗
← N 79.404126°
W 24.851074°		 ← 56.16 m → N 79.404126°
W 24.848328°		 →
↑
56.13 m
↓
↑
56.13 m
↓
N 79.403621°
W 24.851074°		 ← 56.16 m →
3 152 m²		 N 79.403621°
W 24.848328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15928 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430973052978516 y=0.121524810791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430973052978516 × 217)
    floor (0.430973052978516 × 131072)
    floor (56488.5)     		tx = 56488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121524810791016 × 217)
    floor (0.121524810791016 × 131072)
    floor (15928.5)     		ty = 15928
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56488 / 15928 ti = "17/56488/15928"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56488/15928.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56488 ÷ 217
    56488 ÷ 131072     		x = 0.43096923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15928 ÷ 217
    15928 ÷ 131072     		y = 0.12152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43096923828125 × 2 - 1) × π
    -0.1380615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43373307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12152099609375 × 2 - 1) × π
    0.7569580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.37805371635175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43373307} λ = -0.43373307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37805371635175))-π/2
    2×atan(10.7838939094903)-π/2
    2×1.47832987934154-π/2
    2.95665975868308-1.57079632675     		φ = 1.38586343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43373307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.851074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38586343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.404126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56488 KachelY 15928 -0.43373307 1.38586343 -24.851074 79.404126
    Oben rechts KachelX + 1 56489 KachelY 15928 -0.43368513 1.38586343 -24.848328 79.404126
    Unten links KachelX 56488 KachelY + 1 15929 -0.43373307 1.38585462 -24.851074 79.403621
    Unten rechts KachelX + 1 56489 KachelY + 1 15929 -0.43368513 1.38585462 -24.848328 79.403621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38586343-1.38585462) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dl = 56.1285099998103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38586343-1.38585462) × R
    8.80999999997023e-06 × 6371000     		dr = 56.1285099998103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43373307--0.43368513) × cos(1.38586343) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.18388057494112 × 6371000     		do = 56.1618606730453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43373307--0.43368513) × cos(1.38585462) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.183889234711078 × 6371000     		du = 56.1645055896929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38586343)-sin(1.38585462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18388057494112-0.183889234711078)×R²
    abs(-0.43368513--0.43373307)×8.65976995773066e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.65976995773066e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.65976995773066e-06×40589641000000     		ar = 3152.35578589011m²