Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56487 / 87078
↖ ↑ ↗
← S 50.802463°
W 24.853821°		 ← 192.99 m → S 50.802463°
W 24.851074°		 →
↑
193.04 m
↓
↑
193.04 m
↓
S 50.804199°
W 24.853821°		 ← 192.98 m →
37 254 m²		 S 50.804199°
W 24.851074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430965423583984 y=0.664356231689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430965423583984 × 217)
    floor (0.430965423583984 × 131072)
    floor (56487.5)     		tx = 56487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664356231689453 × 217)
    floor (0.664356231689453 × 131072)
    floor (87078.5)     		ty = 87078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56487 / 87078 ti = "17/56487/87078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56487/87078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56487 ÷ 217
    56487 ÷ 131072     		x = 0.430961608886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87078 ÷ 217
    87078 ÷ 131072     		y = 0.664352416992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430961608886719 × 2 - 1) × π
    -0.138076782226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.43378100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664352416992188 × 2 - 1) × π
    -0.328704833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03265669161525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43378100} λ = -0.43378100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03265669161525))-π/2
    2×atan(0.356059761934864)-π/2
    2×0.342063037941742-π/2
    0.684126075883484-1.57079632675     		φ = -0.88667025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43378100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.853821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88667025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.802463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56487 KachelY 87078 -0.43378100 -0.88667025 -24.853821 -50.802463
    Oben rechts KachelX + 1 56488 KachelY 87078 -0.43373307 -0.88667025 -24.851074 -50.802463
    Unten links KachelX 56487 KachelY + 1 87079 -0.43378100 -0.88670055 -24.853821 -50.804199
    Unten rechts KachelX + 1 56488 KachelY + 1 87079 -0.43373307 -0.88670055 -24.851074 -50.804199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88667025--0.88670055) × R
    3.03000000000386e-05 × 6371000     		dl = 193.041300000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88667025--0.88670055) × R
    3.03000000000386e-05 × 6371000     		dr = 193.041300000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43378100--0.43373307) × cos(-0.88667025) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63199598722742 × 6371000     		do = 192.987577611737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43378100--0.43373307) × cos(-0.88670055) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.631972505296043 × 6371000     		du = 192.980407121504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88667025)-sin(-0.88670055))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63199598722742-0.631972505296043)×R²
    abs(-0.43373307--0.43378100)×2.34819313762458e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34819313762458e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34819313762458e-05×40589641000000     		ar = 37253.8807685189m²