Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56487 / 18335
↖ ↑ ↗
← N 78.116974°
W 24.853821°		 ← 62.88 m → N 78.116974°
W 24.851074°		 →
↑
62.88 m
↓
↑
62.88 m
↓
N 78.116408°
W 24.853821°		 ← 62.88 m →
3 954 m²		 N 78.116408°
W 24.851074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430965423583984 y=0.139888763427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430965423583984 × 217)
    floor (0.430965423583984 × 131072)
    floor (56487.5)     		tx = 56487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139888763427734 × 217)
    floor (0.139888763427734 × 131072)
    floor (18335.5)     		ty = 18335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56487 / 18335 ti = "17/56487/18335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56487/18335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56487 ÷ 217
    56487 ÷ 131072     		x = 0.430961608886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18335 ÷ 217
    18335 ÷ 131072     		y = 0.139884948730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430961608886719 × 2 - 1) × π
    -0.138076782226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.43378100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139884948730469 × 2 - 1) × π
    0.720230102539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.26266959896627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43378100} λ = -0.43378100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26266959896627))-π/2
    2×atan(9.60870635028702)-π/2
    2×1.46709735845175-π/2
    2.9341947169035-1.57079632675     		φ = 1.36339839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43378100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.853821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36339839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.116974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56487 KachelY 18335 -0.43378100 1.36339839 -24.853821 78.116974
    Oben rechts KachelX + 1 56488 KachelY 18335 -0.43373307 1.36339839 -24.851074 78.116974
    Unten links KachelX 56487 KachelY + 1 18336 -0.43378100 1.36338852 -24.853821 78.116408
    Unten rechts KachelX + 1 56488 KachelY + 1 18336 -0.43373307 1.36338852 -24.851074 78.116408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36339839-1.36338852) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dl = 62.8817699997923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36339839-1.36338852) × R
    9.8699999999674e-06 × 6371000     		dr = 62.8817699997923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43378100--0.43373307) × cos(1.36339839) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20591429874849 × 6371000     		do = 62.878408271904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43378100--0.43373307) × cos(1.36338852) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.205923957224646 × 6371000     		du = 62.8813576037896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36339839)-sin(1.36338852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20591429874849-0.205923957224646)×R²
    abs(-0.43373307--0.43378100)×9.65847615583271e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.65847615583271e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.65847615583271e-06×40589641000000     		ar = 3953.99833668067m²