Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56487 / 15929
↖ ↑ ↗
← N 79.403621°
W 24.853821°		 ← 56.15 m → N 79.403621°
W 24.851074°		 →
↑
56.19 m
↓
↑
56.19 m
↓
N 79.403115°
W 24.853821°		 ← 56.16 m →
3 155 m²		 N 79.403115°
W 24.851074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430965423583984 y=0.121532440185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430965423583984 × 217)
    floor (0.430965423583984 × 131072)
    floor (56487.5)     		tx = 56487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.121532440185547 × 217)
    floor (0.121532440185547 × 131072)
    floor (15929.5)     		ty = 15929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56487 / 15929 ti = "17/56487/15929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56487/15929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56487 ÷ 217
    56487 ÷ 131072     		x = 0.430961608886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15929 ÷ 217
    15929 ÷ 131072     		y = 0.121528625488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430961608886719 × 2 - 1) × π
    -0.138076782226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.43378100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.121528625488281 × 2 - 1) × π
    0.756942749023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.37800577945213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43378100} λ = -0.43378100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37800577945213))-π/2
    2×atan(10.7833769754407)-π/2
    2×1.47832547190541-π/2
    2.95665094381083-1.57079632675     		φ = 1.38585462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43378100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.853821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38585462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.403621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56487 KachelY 15929 -0.43378100 1.38585462 -24.853821 79.403621
    Oben rechts KachelX + 1 56488 KachelY 15929 -0.43373307 1.38585462 -24.851074 79.403621
    Unten links KachelX 56487 KachelY + 1 15930 -0.43378100 1.38584580 -24.853821 79.403115
    Unten rechts KachelX + 1 56488 KachelY + 1 15930 -0.43373307 1.38584580 -24.851074 79.403115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38585462-1.38584580) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dl = 56.1922199994231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38585462-1.38584580) × R
    8.81999999990946e-06 × 6371000     		dr = 56.1922199994231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43378100--0.43373307) × cos(1.38585462) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183889234711078 × 6371000     		do = 56.1527900065556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43378100--0.43373307) × cos(1.38584580) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183897904296216 × 6371000     		du = 56.1554373686728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38585462)-sin(1.38584580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183889234711078-0.183897904296216)×R²
    abs(-0.43373307--0.43378100)×8.66958513842664e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.66958513842664e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.66958513842664e-06×40589641000000     		ar = 3155.4243103105m²