Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56485 / 87367
↖ ↑ ↗
← S 51.301428°
W 24.859314°		 ← 190.96 m → S 51.301428°
W 24.856567°		 →
↑
190.94 m
↓
↑
190.94 m
↓
S 51.303145°
W 24.859314°		 ← 190.95 m →
36 461 m²		 S 51.303145°
W 24.856567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430950164794922 y=0.666561126708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430950164794922 × 217)
    floor (0.430950164794922 × 131072)
    floor (56485.5)     		tx = 56485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666561126708984 × 217)
    floor (0.666561126708984 × 131072)
    floor (87367.5)     		ty = 87367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56485 / 87367 ti = "17/56485/87367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56485/87367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56485 ÷ 217
    56485 ÷ 131072     		x = 0.430946350097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87367 ÷ 217
    87367 ÷ 131072     		y = 0.666557312011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430946350097656 × 2 - 1) × π
    -0.138107299804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.43387688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666557312011719 × 2 - 1) × π
    -0.333114624023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.04651045560545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43387688} λ = -0.43387688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04651045560545))-π/2
    2×atan(0.351161005484428)-π/2
    2×0.3377087480565-π/2
    0.675417496113001-1.57079632675     		φ = -0.89537883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43387688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.859314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89537883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.301428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56485 KachelY 87367 -0.43387688 -0.89537883 -24.859314 -51.301428
    Oben rechts KachelX + 1 56486 KachelY 87367 -0.43382894 -0.89537883 -24.856567 -51.301428
    Unten links KachelX 56485 KachelY + 1 87368 -0.43387688 -0.89540880 -24.859314 -51.303145
    Unten rechts KachelX + 1 56486 KachelY + 1 87368 -0.43382894 -0.89540880 -24.856567 -51.303145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89537883--0.89540880) × R
    2.99700000000458e-05 × 6371000     		dl = 190.938870000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89537883--0.89540880) × R
    2.99700000000458e-05 × 6371000     		dr = 190.938870000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43387688--0.43382894) × cos(-0.89537883) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625223204907165 × 6371000     		do = 190.959260024039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43387688--0.43382894) × cos(-0.89540880) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625199814660046 × 6371000     		du = 190.952116040503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89537883)-sin(-0.89540880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625223204907165-0.625199814660046)×R²
    abs(-0.43382894--0.43387688)×2.33902471190595e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33902471190595e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33902471190595e-05×40589641000000     		ar = 36460.8632957623m²