Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56484 / 87356
S 51.282535°
W 24.862061°
← 191.04 m → S 51.282535°
W 24.859314°

191 m

191 m
S 51.284252°
W 24.862061°
← 191.03 m →
36 488 m²
S 51.284252°
W 24.859314°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87356 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430942535400391 y=0.666477203369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430942535400391 × 217)
    floor (0.430942535400391 × 131072)
    floor (56484.5)
    tx = 56484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666477203369141 × 217)
    floor (0.666477203369141 × 131072)
    floor (87356.5)
    ty = 87356
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56484 / 87356 ti = "17/56484/87356"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56484/87356.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56484 ÷ 217
    56484 ÷ 131072
    x = 0.430938720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87356 ÷ 217
    87356 ÷ 131072
    y = 0.666473388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.430938720703125 × 2 - 1) × π
    -0.13812255859375 × 3.1415926535
    Λ = -0.43392482
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.666473388671875 × 2 - 1) × π
    -0.33294677734375 × 3.1415926535
    Φ = -1.04598314970963
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43392482} λ = -0.43392482}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04598314970963))-π/2
    2×atan(0.351346223582008)-π/2
    2×0.337873623918114-π/2
    0.675747247836229-1.57079632675
    φ = -0.89504908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43392482} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.862061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89504908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.282535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56484 KachelY 87356 -0.43392482 -0.89504908 -24.862061 -51.282535
    Oben rechts KachelX + 1 56485 KachelY 87356 -0.43387688 -0.89504908 -24.859314 -51.282535
    Unten links KachelX 56484 KachelY + 1 87357 -0.43392482 -0.89507906 -24.862061 -51.284252
    Unten rechts KachelX + 1 56485 KachelY + 1 87357 -0.43387688 -0.89507906 -24.859314 -51.284252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.89504908--0.89507906) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000
    dl = 191.002579999905m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.89504908--0.89507906) × R
    2.9979999999985e-05 × 6371000
    dr = 191.002579999905m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43392482--0.43387688) × cos(-0.89504908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.625480522976018 × 6371000
    do = 191.037851585412m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43392482--0.43387688) × cos(-0.89507906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.625457131106305 × 6371000
    du = 191.030707106295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.89504908)-sin(-0.89507906))×
    abs(λ12)×abs(0.625480522976018-0.625457131106305)×
    abs(-0.43387688--0.43392482)×2.33918697126745e-05×
    4.79399999999686e-05×2.33918697126745e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33918697126745e-05×40589641000000
    ar = 36488.0402261753m²