Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56482 / 87114
↖ ↑ ↗
← S 50.864912°
W 24.867554°		 ← 192.77 m → S 50.864912°
W 24.864807°		 →
↑
192.72 m
↓
↑
192.72 m
↓
S 50.866645°
W 24.867554°		 ← 192.76 m →
37 150 m²		 S 50.866645°
W 24.864807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87114 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430927276611328 y=0.664630889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430927276611328 × 217)
    floor (0.430927276611328 × 131072)
    floor (56482.5)     		tx = 56482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664630889892578 × 217)
    floor (0.664630889892578 × 131072)
    floor (87114.5)     		ty = 87114
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56482 / 87114 ti = "17/56482/87114"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56482/87114.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56482 ÷ 217
    56482 ÷ 131072     		x = 0.430923461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87114 ÷ 217
    87114 ÷ 131072     		y = 0.664627075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430923461914062 × 2 - 1) × π
    -0.138153076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43402069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664627075195312 × 2 - 1) × π
    -0.329254150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.03438242000157
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43402069} λ = -0.43402069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03438242000157))-π/2
    2×atan(0.355445829389241)-π/2
    2×0.341518075837579-π/2
    0.683036151675158-1.57079632675     		φ = -0.88776018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43402069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.867554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88776018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.864912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56482 KachelY 87114 -0.43402069 -0.88776018 -24.867554 -50.864912
    Oben rechts KachelX + 1 56483 KachelY 87114 -0.43397275 -0.88776018 -24.864807 -50.864912
    Unten links KachelX 56482 KachelY + 1 87115 -0.43402069 -0.88779043 -24.867554 -50.866645
    Unten rechts KachelX + 1 56483 KachelY + 1 87115 -0.43397275 -0.88779043 -24.864807 -50.866645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88776018--0.88779043) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dl = 192.72275000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88776018--0.88779043) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dr = 192.72275000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43402069--0.43397275) × cos(-0.88776018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.63115094714549 × 6371000     		do = 192.769745083486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43402069--0.43397275) × cos(-0.88779043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.631127483140819 × 6371000     		du = 192.762578572496m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88776018)-sin(-0.88779043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63115094714549-0.631127483140819)×R²
    abs(-0.43397275--0.43402069)×2.34640046709034e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34640046709034e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34640046709034e-05×40589641000000     		ar = 37150.4248171735m²