Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56482 / 43104
↖ ↑ ↗
← N 52.321911°
W 24.867554°		 ← 186.68 m → N 52.321911°
W 24.864807°		 →
↑
186.67 m
↓
↑
186.67 m
↓
N 52.320232°
W 24.867554°		 ← 186.69 m →
34 849 m²		 N 52.320232°
W 24.864807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56482 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430927276611328 y=0.328861236572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430927276611328 × 217)
    floor (0.430927276611328 × 131072)
    floor (56482.5)     		tx = 56482
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328861236572266 × 217)
    floor (0.328861236572266 × 131072)
    floor (43104.5)     		ty = 43104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56482 / 43104 ti = "17/56482/43104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56482/43104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56482 ÷ 217
    56482 ÷ 131072     		x = 0.430923461914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43104 ÷ 217
    43104 ÷ 131072     		y = 0.328857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430923461914062 × 2 - 1) × π
    -0.138153076171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43402069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328857421875 × 2 - 1) × π
    0.34228515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0753205322771
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43402069} λ = -0.43402069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0753205322771))-π/2
    2×atan(2.93093220836119)-π/2
    2×1.24199297133548-π/2
    2.48398594267096-1.57079632675     		φ = 0.91318962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43402069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.867554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91318962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.321911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56482 KachelY 43104 -0.43402069 0.91318962 -24.867554 52.321911
    Oben rechts KachelX + 1 56483 KachelY 43104 -0.43397275 0.91318962 -24.864807 52.321911
    Unten links KachelX 56482 KachelY + 1 43105 -0.43402069 0.91316032 -24.867554 52.320232
    Unten rechts KachelX + 1 56483 KachelY + 1 43105 -0.43397275 0.91316032 -24.864807 52.320232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91318962-0.91316032) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dl = 186.670300000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91318962-0.91316032) × R
    2.93000000000099e-05 × 6371000     		dr = 186.670300000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43402069--0.43397275) × cos(0.91318962) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611224414818064 × 6371000     		do = 186.683669201752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43402069--0.43397275) × cos(0.91316032) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611247604255641 × 6371000     		du = 186.690751852884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91318962)-sin(0.91316032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611224414818064-0.611247604255641)×R²
    abs(-0.43397275--0.43402069)×2.31894375768427e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31894375768427e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31894375768427e-05×40589641000000     		ar = 34848.9575977958m²