Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56481 / 43105
↖ ↑ ↗
← N 52.320232°
W 24.870301°		 ← 186.69 m → N 52.320232°
W 24.867554°		 →
↑
186.73 m
↓
↑
186.73 m
↓
N 52.318553°
W 24.870301°		 ← 186.70 m →
34 862 m²		 N 52.318553°
W 24.867554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430919647216797 y=0.328868865966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430919647216797 × 217)
    floor (0.430919647216797 × 131072)
    floor (56481.5)     		tx = 56481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328868865966797 × 217)
    floor (0.328868865966797 × 131072)
    floor (43105.5)     		ty = 43105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56481 / 43105 ti = "17/56481/43105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56481/43105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56481 ÷ 217
    56481 ÷ 131072     		x = 0.430915832519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43105 ÷ 217
    43105 ÷ 131072     		y = 0.328865051269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430915832519531 × 2 - 1) × π
    -0.138168334960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.43406863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328865051269531 × 2 - 1) × π
    0.342269897460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.07527259537748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43406863} λ = -0.43406863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07527259537748))-π/2
    2×atan(2.93079171192564)-π/2
    2×1.24197832095578-π/2
    2.48395664191156-1.57079632675     		φ = 0.91316032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43406863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.870301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91316032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.320232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56481 KachelY 43105 -0.43406863 0.91316032 -24.870301 52.320232
    Oben rechts KachelX + 1 56482 KachelY 43105 -0.43402069 0.91316032 -24.867554 52.320232
    Unten links KachelX 56481 KachelY + 1 43106 -0.43406863 0.91313101 -24.870301 52.318553
    Unten rechts KachelX + 1 56482 KachelY + 1 43106 -0.43402069 0.91313101 -24.867554 52.318553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91316032-0.91313101) × R
    2.93100000000601e-05 × 6371000     		dl = 186.734010000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91316032-0.91313101) × R
    2.93100000000601e-05 × 6371000     		dr = 186.734010000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43406863--0.43402069) × cos(0.91316032) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.611247604255641 × 6371000     		do = 186.6907518531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43406863--0.43402069) × cos(0.91313101) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.611270801082683 × 6371000     		du = 186.697836761165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91316032)-sin(0.91313101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611247604255641-0.611270801082683)×R²
    abs(-0.43402069--0.43406863)×2.31968270421046e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31968270421046e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31968270421046e-05×40589641000000     		ar = 34862.174222664m²