Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56479 / 16211
↖ ↑ ↗
← N 79.260241°
W 24.875793°		 ← 56.92 m → N 79.260241°
W 24.873047°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
N 79.259729°
W 24.875793°		 ← 56.92 m →
3 242 m²		 N 79.259729°
W 24.873047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430904388427734 y=0.123683929443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430904388427734 × 217)
    floor (0.430904388427734 × 131072)
    floor (56479.5)     		tx = 56479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123683929443359 × 217)
    floor (0.123683929443359 × 131072)
    floor (16211.5)     		ty = 16211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56479 / 16211 ti = "17/56479/16211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56479/16211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56479 ÷ 217
    56479 ÷ 131072     		x = 0.430900573730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16211 ÷ 217
    16211 ÷ 131072     		y = 0.123680114746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430900573730469 × 2 - 1) × π
    -0.138198852539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.43416450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123680114746094 × 2 - 1) × π
    0.752639770507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.36448757375927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43416450} λ = -0.43416450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36448757375927))-π/2
    2×atan(10.6385859299332)-π/2
    2×1.47707425243703-π/2
    2.95414850487406-1.57079632675     		φ = 1.38335218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43416450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.875793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38335218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.260241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56479 KachelY 16211 -0.43416450 1.38335218 -24.875793 79.260241
    Oben rechts KachelX + 1 56480 KachelY 16211 -0.43411656 1.38335218 -24.873047 79.260241
    Unten links KachelX 56479 KachelY + 1 16212 -0.43416450 1.38334324 -24.875793 79.259729
    Unten rechts KachelX + 1 56480 KachelY + 1 16212 -0.43411656 1.38334324 -24.873047 79.259729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38335218-1.38334324) × R
    8.93999999984629e-06 × 6371000     		dl = 56.9567399990207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38335218-1.38334324) × R
    8.93999999984629e-06 × 6371000     		dr = 56.9567399990207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43416450--0.43411656) × cos(1.38335218) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186348422188083 × 6371000     		do = 56.9156047446563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43416450--0.43411656) × cos(1.38334324) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186357205585118 × 6371000     		du = 56.9182874201953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38335218)-sin(1.38334324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186348422188083-0.186357205585118)×R²
    abs(-0.43411656--0.43416450)×8.7833970346396e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.7833970346396e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.7833970346396e-06×40589641000000     		ar = 3241.80369968788m²