Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56477 / 43164
↖ ↑ ↗
← N 52.221069°
W 24.881286°		 ← 187.07 m → N 52.221069°
W 24.878540°		 →
↑
187.12 m
↓
↑
187.12 m
↓
N 52.219387°
W 24.881286°		 ← 187.08 m →
35 004 m²		 N 52.219387°
W 24.878540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56477 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430889129638672 y=0.329319000244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430889129638672 × 217)
    floor (0.430889129638672 × 131072)
    floor (56477.5)     		tx = 56477
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329319000244141 × 217)
    floor (0.329319000244141 × 131072)
    floor (43164.5)     		ty = 43164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56477 / 43164 ti = "17/56477/43164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56477/43164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56477 ÷ 217
    56477 ÷ 131072     		x = 0.430885314941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43164 ÷ 217
    43164 ÷ 131072     		y = 0.329315185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430885314941406 × 2 - 1) × π
    -0.138229370117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.43426037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329315185546875 × 2 - 1) × π
    0.34136962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.0724443182999
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43426037} λ = -0.43426037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0724443182999))-π/2
    2×atan(2.92251433178755)-π/2
    2×1.24111296443767-π/2
    2.48222592887533-1.57079632675     		φ = 0.91142960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43426037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.881286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91142960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.221069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56477 KachelY 43164 -0.43426037 0.91142960 -24.881286 52.221069
    Oben rechts KachelX + 1 56478 KachelY 43164 -0.43421244 0.91142960 -24.878540 52.221069
    Unten links KachelX 56477 KachelY + 1 43165 -0.43426037 0.91140023 -24.881286 52.219387
    Unten rechts KachelX + 1 56478 KachelY + 1 43165 -0.43421244 0.91140023 -24.878540 52.219387
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91142960-0.91140023) × R
    2.93699999999175e-05 × 6371000     		dl = 187.116269999474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91142960-0.91140023) × R
    2.93699999999175e-05 × 6371000     		dr = 187.116269999474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43426037--0.43421244) × cos(0.91142960) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.612616448153785 × 6371000     		do = 187.069802219744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43426037--0.43421244) × cos(0.91140023) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.612639661360251 × 6371000     		du = 187.076890651593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91142960)-sin(0.91140023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612616448153785-0.612639661360251)×R²
    abs(-0.43421244--0.43426037)×2.32132064658108e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.32132064658108e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.32132064658108e-05×40589641000000     		ar = 35004.4668039368m²