Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56476 / 43162
↖ ↑ ↗
← N 52.224434°
W 24.884033°		 ← 187.09 m → N 52.224434°
W 24.881286°		 →
↑
187.05 m
↓
↑
187.05 m
↓
N 52.222752°
W 24.884033°		 ← 187.10 m →
34 997 m²		 N 52.222752°
W 24.881286°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56476 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430881500244141 y=0.329303741455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430881500244141 × 217)
    floor (0.430881500244141 × 131072)
    floor (56476.5)     		tx = 56476
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329303741455078 × 217)
    floor (0.329303741455078 × 131072)
    floor (43162.5)     		ty = 43162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56476 / 43162 ti = "17/56476/43162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56476/43162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56476 ÷ 217
    56476 ÷ 131072     		x = 0.430877685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43162 ÷ 217
    43162 ÷ 131072     		y = 0.329299926757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430877685546875 × 2 - 1) × π
    -0.13824462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43430831
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329299926757812 × 2 - 1) × π
    0.341400146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07254019209914
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43430831} λ = -0.43430831}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07254019209914))-π/2
    2×atan(2.92279453777186)-π/2
    2×1.24114233025811-π/2
    2.48228466051623-1.57079632675     		φ = 0.91148833
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43430831} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.884033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91148833 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.224434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56476 KachelY 43162 -0.43430831 0.91148833 -24.884033 52.224434
    Oben rechts KachelX + 1 56477 KachelY 43162 -0.43426037 0.91148833 -24.881286 52.224434
    Unten links KachelX 56476 KachelY + 1 43163 -0.43430831 0.91145897 -24.884033 52.222752
    Unten rechts KachelX + 1 56477 KachelY + 1 43163 -0.43426037 0.91145897 -24.881286 52.222752
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91148833-0.91145897) × R
    2.93599999999783e-05 × 6371000     		dl = 187.052559999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91148833-0.91145897) × R
    2.93599999999783e-05 × 6371000     		dr = 187.052559999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43430831--0.43426037) × cos(0.91148833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.612570028059714 × 6371000     		do = 187.094654121836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43430831--0.43426037) × cos(0.91145897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.612593234418878 × 6371000     		du = 187.101741941257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91148833)-sin(0.91145897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612570028059714-0.612593234418878)×R²
    abs(-0.43426037--0.43430831)×2.32063591646403e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32063591646403e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32063591646403e-05×40589641000000     		ar = 34997.1969157621m²