Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56474 / 43927
↖ ↑ ↗
← N 50.918619°
W 24.889526°		 ← 192.51 m → N 50.918619°
W 24.886780°		 →
↑
192.53 m
↓
↑
192.53 m
↓
N 50.916887°
W 24.889526°		 ← 192.51 m →
37 064 m²		 N 50.916887°
W 24.886780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430866241455078 y=0.335140228271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430866241455078 × 217)
    floor (0.430866241455078 × 131072)
    floor (56474.5)     		tx = 56474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335140228271484 × 217)
    floor (0.335140228271484 × 131072)
    floor (43927.5)     		ty = 43927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56474 / 43927 ti = "17/56474/43927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56474/43927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56474 ÷ 217
    56474 ÷ 131072     		x = 0.430862426757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43927 ÷ 217
    43927 ÷ 131072     		y = 0.335136413574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430862426757812 × 2 - 1) × π
    -0.138275146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43440418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335136413574219 × 2 - 1) × π
    0.329727172851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.03586846388979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43440418} λ = -0.43440418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03586846388979))-π/2
    2×atan(2.81755211566115)-π/2
    2×1.22974693972278-π/2
    2.45949387944557-1.57079632675     		φ = 0.88869755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43440418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.889526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88869755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.918619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56474 KachelY 43927 -0.43440418 0.88869755 -24.889526 50.918619
    Oben rechts KachelX + 1 56475 KachelY 43927 -0.43435625 0.88869755 -24.886780 50.918619
    Unten links KachelX 56474 KachelY + 1 43928 -0.43440418 0.88866733 -24.889526 50.916887
    Unten rechts KachelX + 1 56475 KachelY + 1 43928 -0.43435625 0.88866733 -24.886780 50.916887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88869755-0.88866733) × R
    3.02199999999697e-05 × 6371000     		dl = 192.531619999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88869755-0.88866733) × R
    3.02199999999697e-05 × 6371000     		dr = 192.531619999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43440418--0.43435625) × cos(0.88869755) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.63042358952546 × 6371000     		do = 192.507427057276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43440418--0.43435625) × cos(0.88866733) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.630447047552207 × 6371000     		du = 192.514590247943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88869755)-sin(0.88866733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63042358952546-0.630447047552207)×R²
    abs(-0.43435625--0.43440418)×2.34580267469697e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34580267469697e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34580267469697e-05×40589641000000     		ar = 37064.4563665183m²