Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56472 / 43126
↖ ↑ ↗
← N 52.284962°
W 24.895020°		 ← 186.84 m → N 52.284962°
W 24.892273°		 →
↑
186.80 m
↓
↑
186.80 m
↓
N 52.283282°
W 24.895020°		 ← 186.85 m →
34 902 m²		 N 52.283282°
W 24.892273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430850982666016 y=0.329029083251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430850982666016 × 217)
    floor (0.430850982666016 × 131072)
    floor (56472.5)     		tx = 56472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329029083251953 × 217)
    floor (0.329029083251953 × 131072)
    floor (43126.5)     		ty = 43126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56472 / 43126 ti = "17/56472/43126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56472/43126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56472 ÷ 217
    56472 ÷ 131072     		x = 0.43084716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43126 ÷ 217
    43126 ÷ 131072     		y = 0.329025268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43084716796875 × 2 - 1) × π
    -0.1383056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43450006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329025268554688 × 2 - 1) × π
    0.341949462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07426592048546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43450006} λ = -0.43450006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07426592048546))-π/2
    2×atan(2.92784284202117)-π/2
    2×1.24167053457141-π/2
    2.48334106914283-1.57079632675     		φ = 0.91254474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43450006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.895020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91254474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.284962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56472 KachelY 43126 -0.43450006 0.91254474 -24.895020 52.284962
    Oben rechts KachelX + 1 56473 KachelY 43126 -0.43445212 0.91254474 -24.892273 52.284962
    Unten links KachelX 56472 KachelY + 1 43127 -0.43450006 0.91251542 -24.895020 52.283282
    Unten rechts KachelX + 1 56473 KachelY + 1 43127 -0.43445212 0.91251542 -24.892273 52.283282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91254474-0.91251542) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dl = 186.797719999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91254474-0.91251542) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dr = 186.797719999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43450006--0.43445212) × cos(0.91254474) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.611734682694527 × 6371000     		do = 186.839518145735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43450006--0.43445212) × cos(0.91251542) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.61175787639889 × 6371000     		du = 186.846602100053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91254474)-sin(0.91251542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611734682694527-0.61175787639889)×R²
    abs(-0.43445212--0.43450006)×2.31937043626562e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31937043626562e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31937043626562e-05×40589641000000     		ar = 34901.8576313464m²