Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56471 / 16501
↖ ↑ ↗
← N 79.110795°
W 24.897766°		 ← 57.70 m → N 79.110795°
W 24.895020°		 →
↑
57.72 m
↓
↑
57.72 m
↓
N 79.110276°
W 24.897766°		 ← 57.70 m →
3 330 m²		 N 79.110276°
W 24.895020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430843353271484 y=0.125896453857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430843353271484 × 217)
    floor (0.430843353271484 × 131072)
    floor (56471.5)     		tx = 56471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125896453857422 × 217)
    floor (0.125896453857422 × 131072)
    floor (16501.5)     		ty = 16501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56471 / 16501 ti = "17/56471/16501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56471/16501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56471 ÷ 217
    56471 ÷ 131072     		x = 0.430839538574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16501 ÷ 217
    16501 ÷ 131072     		y = 0.125892639160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430839538574219 × 2 - 1) × π
    -0.138320922851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.43454800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125892639160156 × 2 - 1) × π
    0.748214721679688 × 3.1415926535     		Φ = 2.35058587286945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43454800} λ = -0.43454800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35058587286945))-π/2
    2×atan(10.4917147354718)-π/2
    2×1.4757700878814-π/2
    2.95154017576281-1.57079632675     		φ = 1.38074385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43454800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.897766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38074385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.110795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56471 KachelY 16501 -0.43454800 1.38074385 -24.897766 79.110795
    Oben rechts KachelX + 1 56472 KachelY 16501 -0.43450006 1.38074385 -24.895020 79.110795
    Unten links KachelX 56471 KachelY + 1 16502 -0.43454800 1.38073479 -24.897766 79.110276
    Unten rechts KachelX + 1 56472 KachelY + 1 16502 -0.43450006 1.38073479 -24.895020 79.110276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38074385-1.38073479) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dl = 57.721260000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38074385-1.38073479) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dr = 57.721260000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43454800--0.43450006) × cos(1.38074385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18891042715127 × 6371000     		do = 57.6981070063548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43454800--0.43450006) × cos(1.38073479) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188919324012083 × 6371000     		du = 57.7008243366524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38074385)-sin(1.38073479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18891042715127-0.188919324012083)×R²
    abs(-0.43450006--0.43454800)×8.8968608135398e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.8968608135398e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.8968608135398e-06×40589641000000     		ar = 3330.48585998708m²