Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56470 / 43929
↖ ↑ ↗
← N 50.915156°
W 24.900513°		 ← 192.52 m → N 50.915156°
W 24.897766°		 →
↑
192.53 m
↓
↑
192.53 m
↓
N 50.913424°
W 24.900513°		 ← 192.53 m →
37 067 m²		 N 50.913424°
W 24.897766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43929 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430835723876953 y=0.335155487060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430835723876953 × 217)
    floor (0.430835723876953 × 131072)
    floor (56470.5)     		tx = 56470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335155487060547 × 217)
    floor (0.335155487060547 × 131072)
    floor (43929.5)     		ty = 43929
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56470 / 43929 ti = "17/56470/43929"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56470/43929.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56470 ÷ 217
    56470 ÷ 131072     		x = 0.430831909179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43929 ÷ 217
    43929 ÷ 131072     		y = 0.335151672363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430831909179688 × 2 - 1) × π
    -0.138336181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.43459593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335151672363281 × 2 - 1) × π
    0.329696655273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.03577259009055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43459593} λ = -0.43459593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03577259009055))-π/2
    2×atan(2.81728199918402)-π/2
    2×1.22971671804601-π/2
    2.45943343609201-1.57079632675     		φ = 0.88863711
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43459593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.900513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88863711 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.915156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56470 KachelY 43929 -0.43459593 0.88863711 -24.900513 50.915156
    Oben rechts KachelX + 1 56471 KachelY 43929 -0.43454800 0.88863711 -24.897766 50.915156
    Unten links KachelX 56470 KachelY + 1 43930 -0.43459593 0.88860689 -24.900513 50.913424
    Unten rechts KachelX + 1 56471 KachelY + 1 43930 -0.43454800 0.88860689 -24.897766 50.913424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88863711-0.88860689) × R
    3.02199999999697e-05 × 6371000     		dl = 192.531619999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88863711-0.88860689) × R
    3.02199999999697e-05 × 6371000     		dr = 192.531619999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43459593--0.43454800) × cos(0.88863711) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.6304705050032 × 6371000     		do = 192.52175326302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43459593--0.43454800) × cos(0.88860689) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.630493961878416 × 6371000     		du = 192.528916102053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88863711)-sin(0.88860689))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6304705050032-0.630493961878416)×R²
    abs(-0.43454800--0.43459593)×2.3456875215988e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3456875215988e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3456875215988e-05×40589641000000     		ar = 37067.2145802868m²