Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5647 / 11912
↖ ↑ ↗
← S 62.995159°
W 55.920410°		 ← 1 109.41 m → S 62.995159°
W 55.898437°		 →
↑
1 109.19 m
↓
↑
1 109.19 m
↓
S 63.005134°
W 55.920410°		 ← 1 109.03 m →
1 230 337 m²		 S 63.005134°
W 55.898437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11912 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.344696044921875 y=0.727081298828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.344696044921875 × 214)
    floor (0.344696044921875 × 16384)
    floor (5647.5)     		tx = 5647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.727081298828125 × 214)
    floor (0.727081298828125 × 16384)
    floor (11912.5)     		ty = 11912
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5647 / 11912 ti = "14/5647/11912"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5647/11912.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5647 ÷ 214
    5647 ÷ 16384     		x = 0.34466552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11912 ÷ 214
    11912 ÷ 16384     		y = 0.72705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34466552734375 × 2 - 1) × π
    -0.3106689453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.97599528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72705078125 × 2 - 1) × π
    -0.4541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.42660213269287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.97599528} λ = -0.97599528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42660213269287))-π/2
    2×atan(0.240123445243814)-π/2
    2×0.235661699504187-π/2
    0.471323399008374-1.57079632675     		φ = -1.09947293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.97599528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -55.920410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09947293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.995159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5647 KachelY 11912 -0.97599528 -1.09947293 -55.920410 -62.995159
    Oben rechts KachelX + 1 5648 KachelY 11912 -0.97561178 -1.09947293 -55.898437 -62.995159
    Unten links KachelX 5647 KachelY + 1 11913 -0.97599528 -1.09964703 -55.920410 -63.005134
    Unten rechts KachelX + 1 5648 KachelY + 1 11913 -0.97561178 -1.09964703 -55.898437 -63.005134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09947293--1.09964703) × R
    0.000174100000000177 × 6371000     		dl = 1109.19110000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09947293--1.09964703) × R
    0.000174100000000177 × 6371000     		dr = 1109.19110000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.97599528--0.97561178) × cos(-1.09947293) × R
    0.000383499999999981 × 0.454065787061965 × 6371000     		do = 1109.40917511402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.97599528--0.97561178) × cos(-1.09964703) × R
    0.000383499999999981 × 0.45391066262465 × 6371000     		du = 1109.03016291151m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09947293)-sin(-1.09964703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.454065787061965-0.45391066262465)×R²
    abs(-0.97561178--0.97599528)×0.00015512443731458×R²
    0.000383499999999981×0.00015512443731458×6371000²
    0.000383499999999981×0.00015512443731458×40589641000000     		ar = 1230336.58792154m²