Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56469 / 16304
↖ ↑ ↗
← N 79.212538°
W 24.903259°		 ← 57.17 m → N 79.212538°
W 24.900513°		 →
↑
57.15 m
↓
↑
57.15 m
↓
N 79.212024°
W 24.903259°		 ← 57.17 m →
3 267 m²		 N 79.212024°
W 24.900513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56469 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430828094482422 y=0.124393463134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430828094482422 × 217)
    floor (0.430828094482422 × 131072)
    floor (56469.5)     		tx = 56469
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124393463134766 × 217)
    floor (0.124393463134766 × 131072)
    floor (16304.5)     		ty = 16304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56469 / 16304 ti = "17/56469/16304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56469/16304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56469 ÷ 217
    56469 ÷ 131072     		x = 0.430824279785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16304 ÷ 217
    16304 ÷ 131072     		y = 0.1243896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430824279785156 × 2 - 1) × π
    -0.138351440429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.43464387
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1243896484375 × 2 - 1) × π
    0.751220703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3600294420946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43464387} λ = -0.43464387}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3600294420946))-π/2
    2×atan(10.5912632768188)-π/2
    2×1.47665795855319-π/2
    2.95331591710638-1.57079632675     		φ = 1.38251959
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43464387} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.903259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38251959 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.212538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56469 KachelY 16304 -0.43464387 1.38251959 -24.903259 79.212538
    Oben rechts KachelX + 1 56470 KachelY 16304 -0.43459593 1.38251959 -24.900513 79.212538
    Unten links KachelX 56469 KachelY + 1 16305 -0.43464387 1.38251062 -24.903259 79.212024
    Unten rechts KachelX + 1 56470 KachelY + 1 16305 -0.43459593 1.38251062 -24.900513 79.212024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38251959-1.38251062) × R
    8.97000000010806e-06 × 6371000     		dl = 57.1478700006884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38251959-1.38251062) × R
    8.97000000010806e-06 × 6371000     		dr = 57.1478700006884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43464387--0.43459593) × cos(1.38251959) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187166363627405 × 6371000     		do = 57.1654251139717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43464387--0.43459593) × cos(1.38251062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187175175104102 × 6371000     		du = 57.1681163657625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38251959)-sin(1.38251062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187166363627405-0.187175175104102)×R²
    abs(-0.43459593--0.43464387)×8.81147669726245e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.81147669726245e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.81147669726245e-06×40589641000000     		ar = 3266.95918264071m²