Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56466 / 87122
↖ ↑ ↗
← S 50.878777°
W 24.911499°		 ← 192.71 m → S 50.878777°
W 24.908752°		 →
↑
192.72 m
↓
↑
192.72 m
↓
S 50.880510°
W 24.911499°		 ← 192.71 m →
37 139 m²		 S 50.880510°
W 24.908752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430805206298828 y=0.664691925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430805206298828 × 217)
    floor (0.430805206298828 × 131072)
    floor (56466.5)     		tx = 56466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664691925048828 × 217)
    floor (0.664691925048828 × 131072)
    floor (87122.5)     		ty = 87122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56466 / 87122 ti = "17/56466/87122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56466/87122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56466 ÷ 217
    56466 ÷ 131072     		x = 0.430801391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87122 ÷ 217
    87122 ÷ 131072     		y = 0.664688110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430801391601562 × 2 - 1) × π
    -0.138397216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43478768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664688110351562 × 2 - 1) × π
    -0.329376220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.03476591519853
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43478768} λ = -0.43478768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03476591519853))-π/2
    2×atan(0.355309543755004)-π/2
    2×0.341397072157525-π/2
    0.68279414431505-1.57079632675     		φ = -0.88800218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43478768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.911499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88800218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.878777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56466 KachelY 87122 -0.43478768 -0.88800218 -24.911499 -50.878777
    Oben rechts KachelX + 1 56467 KachelY 87122 -0.43473974 -0.88800218 -24.908752 -50.878777
    Unten links KachelX 56466 KachelY + 1 87123 -0.43478768 -0.88803243 -24.911499 -50.880510
    Unten rechts KachelX + 1 56467 KachelY + 1 87123 -0.43473974 -0.88803243 -24.908752 -50.880510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88800218--0.88803243) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dl = 192.72275000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88800218--0.88803243) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dr = 192.72275000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43478768--0.43473974) × cos(-0.88800218) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630963218938735 × 6371000     		do = 192.712408057242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43478768--0.43473974) × cos(-0.88803243) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630939750314497 × 6371000     		du = 192.705240135317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88800218)-sin(-0.88803243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630963218938735-0.630939750314497)×R²
    abs(-0.43473974--0.43478768)×2.34686242384097e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34686242384097e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34686242384097e-05×40589641000000     		ar = 37139.3745319693m²