Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56466 / 16220
↖ ↑ ↗
← N 79.255634°
W 24.911499°		 ← 56.94 m → N 79.255634°
W 24.908752°		 →
↑
56.89 m
↓
↑
56.89 m
↓
N 79.255122°
W 24.911499°		 ← 56.94 m →
3 240 m²		 N 79.255122°
W 24.908752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56466 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430805206298828 y=0.123752593994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430805206298828 × 217)
    floor (0.430805206298828 × 131072)
    floor (56466.5)     		tx = 56466
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123752593994141 × 217)
    floor (0.123752593994141 × 131072)
    floor (16220.5)     		ty = 16220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56466 / 16220 ti = "17/56466/16220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56466/16220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56466 ÷ 217
    56466 ÷ 131072     		x = 0.430801391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16220 ÷ 217
    16220 ÷ 131072     		y = 0.123748779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430801391601562 × 2 - 1) × π
    -0.138397216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.43478768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123748779296875 × 2 - 1) × π
    0.75250244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36405614166269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43478768} λ = -0.43478768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36405614166269))-π/2
    2×atan(10.6339970924579)-π/2
    2×1.47703404557069-π/2
    2.95406809114137-1.57079632675     		φ = 1.38327176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43478768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.911499°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38327176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.255634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56466 KachelY 16220 -0.43478768 1.38327176 -24.911499 79.255634
    Oben rechts KachelX + 1 56467 KachelY 16220 -0.43473974 1.38327176 -24.908752 79.255634
    Unten links KachelX 56466 KachelY + 1 16221 -0.43478768 1.38326283 -24.911499 79.255122
    Unten rechts KachelX + 1 56467 KachelY + 1 16221 -0.43473974 1.38326283 -24.908752 79.255122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38327176-1.38326283) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dl = 56.8930299994079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38327176-1.38326283) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dr = 56.8930299994079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43478768--0.43473974) × cos(1.38327176) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186427432926392 × 6371000     		do = 56.9397366578723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43478768--0.43473974) × cos(1.38326283) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186436206364749 × 6371000     		du = 56.9424162917746m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38327176)-sin(1.38326283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186427432926392-0.186436206364749)×R²
    abs(-0.43473974--0.43478768)×8.77343835639643e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.77343835639643e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.77343835639643e-06×40589641000000     		ar = 3239.55037201585m²