Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56464 / 43925
↖ ↑ ↗
← N 50.922082°
W 24.916992°		 ← 192.49 m → N 50.922082°
W 24.914246°		 →
↑
192.53 m
↓
↑
192.53 m
↓
N 50.920350°
W 24.916992°		 ← 192.50 m →
37 062 m²		 N 50.920350°
W 24.914246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56464 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430789947509766 y=0.335124969482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430789947509766 × 217)
    floor (0.430789947509766 × 131072)
    floor (56464.5)     		tx = 56464
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335124969482422 × 217)
    floor (0.335124969482422 × 131072)
    floor (43925.5)     		ty = 43925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56464 / 43925 ti = "17/56464/43925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56464/43925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56464 ÷ 217
    56464 ÷ 131072     		x = 0.4307861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43925 ÷ 217
    43925 ÷ 131072     		y = 0.335121154785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4307861328125 × 2 - 1) × π
    -0.138427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43488355
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335121154785156 × 2 - 1) × π
    0.329757690429688 × 3.1415926535     		Φ = 1.03596433768903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43488355} λ = -0.43488355}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03596433768903))-π/2
    2×atan(2.81782225803662)-π/2
    2×1.22977715915049-π/2
    2.45955431830097-1.57079632675     		φ = 0.88875799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43488355} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88875799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.922082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56464 KachelY 43925 -0.43488355 0.88875799 -24.916992 50.922082
    Oben rechts KachelX + 1 56465 KachelY 43925 -0.43483562 0.88875799 -24.914246 50.922082
    Unten links KachelX 56464 KachelY + 1 43926 -0.43488355 0.88872777 -24.916992 50.920350
    Unten rechts KachelX + 1 56465 KachelY + 1 43926 -0.43483562 0.88872777 -24.914246 50.920350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88875799-0.88872777) × R
    3.02199999999697e-05 × 6371000     		dl = 192.531619999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88875799-0.88872777) × R
    3.02199999999697e-05 × 6371000     		dr = 192.531619999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43488355--0.43483562) × cos(0.88875799) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.630376671744788 × 6371000     		do = 192.49310014875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43488355--0.43483562) × cos(0.88872777) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63040013092298 × 6371000     		du = 192.500263691025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88875799)-sin(0.88872777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630376671744788-0.63040013092298)×R²
    abs(-0.43483562--0.43488355)×2.34591781922422e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34591781922422e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34591781922422e-05×40589641000000     		ar = 37061.6980176262m²