Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56463 / 43185
↖ ↑ ↗
← N 52.185721°
W 24.919739°		 ← 187.26 m → N 52.185721°
W 24.916992°		 →
↑
187.24 m
↓
↑
187.24 m
↓
N 52.184037°
W 24.919739°		 ← 187.26 m →
35 063 m²		 N 52.184037°
W 24.916992°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430782318115234 y=0.329479217529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430782318115234 × 217)
    floor (0.430782318115234 × 131072)
    floor (56463.5)     		tx = 56463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329479217529297 × 217)
    floor (0.329479217529297 × 131072)
    floor (43185.5)     		ty = 43185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56463 / 43185 ti = "17/56463/43185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56463/43185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56463 ÷ 217
    56463 ÷ 131072     		x = 0.430778503417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43185 ÷ 217
    43185 ÷ 131072     		y = 0.329475402832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430778503417969 × 2 - 1) × π
    -0.138442993164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.43493149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329475402832031 × 2 - 1) × π
    0.341049194335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.07143764340788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43493149} λ = -0.43493149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07143764340788))-π/2
    2×atan(2.91957379032112)-π/2
    2×1.24080448895573-π/2
    2.48160897791147-1.57079632675     		φ = 0.91081265
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43493149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.919739°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91081265 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.185721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56463 KachelY 43185 -0.43493149 0.91081265 -24.919739 52.185721
    Oben rechts KachelX + 1 56464 KachelY 43185 -0.43488355 0.91081265 -24.916992 52.185721
    Unten links KachelX 56463 KachelY + 1 43186 -0.43493149 0.91078326 -24.919739 52.184037
    Unten rechts KachelX + 1 56464 KachelY + 1 43186 -0.43488355 0.91078326 -24.916992 52.184037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91081265-0.91078326) × R
    2.9390000000018e-05 × 6371000     		dl = 187.243690000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91081265-0.91078326) × R
    2.9390000000018e-05 × 6371000     		dr = 187.243690000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43493149--0.43488355) × cos(0.91081265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.613103956686528 × 6371000     		do = 187.257729667788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43493149--0.43488355) × cos(0.91078326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61312717458755 × 6371000     		du = 187.264821012389m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91081265)-sin(0.91078326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613103956686528-0.61312717458755)×R²
    abs(-0.43488355--0.43493149)×2.32179010223321e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32179010223321e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32179010223321e-05×40589641000000     		ar = 35063.4921913557m²