Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56462 / 16221
↖ ↑ ↗
← N 79.255122°
W 24.922486°		 ← 56.94 m → N 79.255122°
W 24.919739°		 →
↑
56.96 m
↓
↑
56.96 m
↓
N 79.254610°
W 24.922486°		 ← 56.95 m →
3 243 m²		 N 79.254610°
W 24.919739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56462 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430774688720703 y=0.123760223388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430774688720703 × 217)
    floor (0.430774688720703 × 131072)
    floor (56462.5)     		tx = 56462
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123760223388672 × 217)
    floor (0.123760223388672 × 131072)
    floor (16221.5)     		ty = 16221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56462 / 16221 ti = "17/56462/16221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56462/16221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56462 ÷ 217
    56462 ÷ 131072     		x = 0.430770874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16221 ÷ 217
    16221 ÷ 131072     		y = 0.123756408691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430770874023438 × 2 - 1) × π
    -0.138458251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43497943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123756408691406 × 2 - 1) × π
    0.752487182617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.36400820476307
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43497943} λ = -0.43497943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36400820476307))-π/2
    2×atan(10.6334873438247)-π/2
    2×1.477029577089-π/2
    2.95405915417799-1.57079632675     		φ = 1.38326283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43497943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.922486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38326283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.255122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56462 KachelY 16221 -0.43497943 1.38326283 -24.922486 79.255122
    Oben rechts KachelX + 1 56463 KachelY 16221 -0.43493149 1.38326283 -24.919739 79.255122
    Unten links KachelX 56462 KachelY + 1 16222 -0.43497943 1.38325389 -24.922486 79.254610
    Unten rechts KachelX + 1 56463 KachelY + 1 16222 -0.43493149 1.38325389 -24.919739 79.254610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38326283-1.38325389) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dl = 56.9567400004354m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38326283-1.38325389) × R
    8.94000000006834e-06 × 6371000     		dr = 56.9567400004354m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43497943--0.43493149) × cos(1.38326283) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186436206364749 × 6371000     		do = 56.9424162917746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43497943--0.43493149) × cos(1.38325389) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186444989612892 × 6371000     		du = 56.9450989218384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38326283)-sin(1.38325389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186436206364749-0.186444989612892)×R²
    abs(-0.43493149--0.43497943)×8.78324814324039e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.78324814324039e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.78324814324039e-06×40589641000000     		ar = 3243.33079676141m²