Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56460 / 87119
↖ ↑ ↗
← S 50.873578°
W 24.927978°		 ← 192.73 m → S 50.873578°
W 24.925232°		 →
↑
192.72 m
↓
↑
192.72 m
↓
S 50.875311°
W 24.927978°		 ← 192.73 m →
37 144 m²		 S 50.875311°
W 24.925232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56460 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430759429931641 y=0.664669036865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430759429931641 × 217)
    floor (0.430759429931641 × 131072)
    floor (56460.5)     		tx = 56460
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664669036865234 × 217)
    floor (0.664669036865234 × 131072)
    floor (87119.5)     		ty = 87119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56460 / 87119 ti = "17/56460/87119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56460/87119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56460 ÷ 217
    56460 ÷ 131072     		x = 0.430755615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87119 ÷ 217
    87119 ÷ 131072     		y = 0.664665222167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430755615234375 × 2 - 1) × π
    -0.13848876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.43507530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664665222167969 × 2 - 1) × π
    -0.329330444335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.03462210449967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43507530} λ = -0.43507530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03462210449967))-π/2
    2×atan(0.355360644743149)-π/2
    2×0.341442444319103-π/2
    0.682884888638205-1.57079632675     		φ = -0.88791144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43507530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.927978°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88791144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.873578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56460 KachelY 87119 -0.43507530 -0.88791144 -24.927978 -50.873578
    Oben rechts KachelX + 1 56461 KachelY 87119 -0.43502736 -0.88791144 -24.925232 -50.873578
    Unten links KachelX 56460 KachelY + 1 87120 -0.43507530 -0.88794169 -24.927978 -50.875311
    Unten rechts KachelX + 1 56461 KachelY + 1 87120 -0.43502736 -0.88794169 -24.925232 -50.875311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88791144--0.88794169) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dl = 192.72275000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88791144--0.88794169) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dr = 192.72275000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43507530--0.43502736) × cos(-0.88791144) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631033613589585 × 6371000     		do = 192.73390839557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43507530--0.43502736) × cos(-0.88794169) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631010146697332 × 6371000     		du = 192.726741002638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88791144)-sin(-0.88794169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631033613589585-0.631010146697332)×R²
    abs(-0.43502736--0.43507530)×2.34668922525216e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34668922525216e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34668922525216e-05×40589641000000     		ar = 37143.5181872687m²