Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56458 / 87102
↖ ↑ ↗
← S 50.844105°
W 24.933471°		 ← 192.82 m → S 50.844105°
W 24.930725°		 →
↑
192.85 m
↓
↑
192.85 m
↓
S 50.845839°
W 24.933471°		 ← 192.81 m →
37 184 m²		 S 50.845839°
W 24.930725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430744171142578 y=0.664539337158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430744171142578 × 217)
    floor (0.430744171142578 × 131072)
    floor (56458.5)     		tx = 56458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664539337158203 × 217)
    floor (0.664539337158203 × 131072)
    floor (87102.5)     		ty = 87102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56458 / 87102 ti = "17/56458/87102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56458/87102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56458 ÷ 217
    56458 ÷ 131072     		x = 0.430740356445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87102 ÷ 217
    87102 ÷ 131072     		y = 0.664535522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430740356445312 × 2 - 1) × π
    -0.138519287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.43517117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664535522460938 × 2 - 1) × π
    -0.329071044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03380717720613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43517117} λ = -0.43517117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03380717720613))-π/2
    2×atan(0.355650355862317)-π/2
    2×0.341699648857547-π/2
    0.683399297715094-1.57079632675     		φ = -0.88739703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43517117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.933471°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88739703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.844105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56458 KachelY 87102 -0.43517117 -0.88739703 -24.933471 -50.844105
    Oben rechts KachelX + 1 56459 KachelY 87102 -0.43512324 -0.88739703 -24.930725 -50.844105
    Unten links KachelX 56458 KachelY + 1 87103 -0.43517117 -0.88742730 -24.933471 -50.845839
    Unten rechts KachelX + 1 56459 KachelY + 1 87103 -0.43512324 -0.88742730 -24.930725 -50.845839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88739703--0.88742730) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dl = 192.850169999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88739703--0.88742730) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dr = 192.850169999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43517117--0.43512324) × cos(-0.88739703) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.631432586461704 × 6371000     		do = 192.815536409991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43517117--0.43512324) × cos(-0.88742730) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.631409113882828 × 6371000     		du = 192.808368775656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88739703)-sin(-0.88742730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631432586461704-0.631409113882828)×R²
    abs(-0.43512324--0.43517117)×2.3472578875805e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3472578875805e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3472578875805e-05×40589641000000     		ar = 37183.8178385854m²