Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56457 / 43051
↖ ↑ ↗
← N 52.410797°
W 24.936218°		 ← 186.31 m → N 52.410797°
W 24.933471°		 →
↑
186.35 m
↓
↑
186.35 m
↓
N 52.409121°
W 24.936218°		 ← 186.32 m →
34 720 m²		 N 52.409121°
W 24.933471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430736541748047 y=0.328456878662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430736541748047 × 217)
    floor (0.430736541748047 × 131072)
    floor (56457.5)     		tx = 56457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328456878662109 × 217)
    floor (0.328456878662109 × 131072)
    floor (43051.5)     		ty = 43051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56457 / 43051 ti = "17/56457/43051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56457/43051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56457 ÷ 217
    56457 ÷ 131072     		x = 0.430732727050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43051 ÷ 217
    43051 ÷ 131072     		y = 0.328453063964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430732727050781 × 2 - 1) × π
    -0.138534545898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.43521911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328453063964844 × 2 - 1) × π
    0.343093872070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.07786118795696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43521911} λ = -0.43521911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07786118795696))-π/2
    2×atan(2.93838816542285)-π/2
    2×1.24276864628568-π/2
    2.48553729257135-1.57079632675     		φ = 0.91474097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43521911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.936218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91474097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.410797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56457 KachelY 43051 -0.43521911 0.91474097 -24.936218 52.410797
    Oben rechts KachelX + 1 56458 KachelY 43051 -0.43517117 0.91474097 -24.933471 52.410797
    Unten links KachelX 56457 KachelY + 1 43052 -0.43521911 0.91471172 -24.936218 52.409121
    Unten rechts KachelX + 1 56458 KachelY + 1 43052 -0.43517117 0.91471172 -24.933471 52.409121
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91474097-0.91471172) × R
    2.92499999999807e-05 × 6371000     		dl = 186.351749999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91474097-0.91471172) × R
    2.92499999999807e-05 × 6371000     		dr = 186.351749999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43521911--0.43517117) × cos(0.91474097) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.609995852459614 × 6371000     		do = 186.308434634502m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43521911--0.43517117) × cos(0.91471172) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.610019030033398 × 6371000     		du = 186.315513662126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91474097)-sin(0.91471172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609995852459614-0.610019030033398)×R²
    abs(-0.43517117--0.43521911)×2.31775737842277e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31775737842277e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31775737842277e-05×40589641000000     		ar = 34719.5624309077m²