Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56455 / 16243
↖ ↑ ↗
← N 79.243851°
W 24.941712°		 ← 57 m → N 79.243851°
W 24.938965°		 →
↑
57.02 m
↓
↑
57.02 m
↓
N 79.243338°
W 24.941712°		 ← 57 m →
3 250 m²		 N 79.243338°
W 24.938965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430721282958984 y=0.123928070068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430721282958984 × 217)
    floor (0.430721282958984 × 131072)
    floor (56455.5)     		tx = 56455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123928070068359 × 217)
    floor (0.123928070068359 × 131072)
    floor (16243.5)     		ty = 16243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56455 / 16243 ti = "17/56455/16243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56455/16243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56455 ÷ 217
    56455 ÷ 131072     		x = 0.430717468261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16243 ÷ 217
    16243 ÷ 131072     		y = 0.123924255371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.430717468261719 × 2 - 1) × π
    -0.138565063476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.43531499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123924255371094 × 2 - 1) × π
    0.752151489257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.36295359297143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43531499} λ = -0.43531499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36295359297143))-π/2
    2×atan(10.6222790539218)-π/2
    2×1.47693121722989-π/2
    2.95386243445977-1.57079632675     		φ = 1.38306611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43531499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.941712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38306611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.243851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56455 KachelY 16243 -0.43531499 1.38306611 -24.941712 79.243851
    Oben rechts KachelX + 1 56456 KachelY 16243 -0.43526705 1.38306611 -24.938965 79.243851
    Unten links KachelX 56455 KachelY + 1 16244 -0.43531499 1.38305716 -24.941712 79.243338
    Unten rechts KachelX + 1 56456 KachelY + 1 16244 -0.43526705 1.38305716 -24.938965 79.243338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38306611-1.38305716) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dl = 57.0204500000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38306611-1.38305716) × R
    8.95000000000756e-06 × 6371000     		dr = 57.0204500000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43531499--0.43526705) × cos(1.38306611) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.18662947367782 × 6371000     		do = 57.0014451038872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43531499--0.43526705) × cos(1.38305716) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.186638266422191 × 6371000     		du = 57.0041306343435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38306611)-sin(1.38305716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18662947367782-0.186638266422191)×R²
    abs(-0.43526705--0.43531499)×8.79274437151634e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.79274437151634e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.79274437151634e-06×40589641000000     		ar = 3250.32461549677m²