Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56454 / 16507
N 79.107682°
W 24.944458°
← 57.70 m → N 79.107682°
W 24.941712°

57.72 m

57.72 m
N 79.107163°
W 24.944458°
← 57.71 m →
3 331 m²
N 79.107163°
W 24.941712°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56454 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16507 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.430713653564453 y=0.125942230224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.430713653564453 × 217)
    floor (0.430713653564453 × 131072)
    floor (56454.5)
    tx = 56454
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125942230224609 × 217)
    floor (0.125942230224609 × 131072)
    floor (16507.5)
    ty = 16507
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56454 / 16507 ti = "17/56454/16507"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56454/16507.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56454 ÷ 217
    56454 ÷ 131072
    x = 0.430709838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16507 ÷ 217
    16507 ÷ 131072
    y = 0.125938415527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.430709838867188 × 2 - 1) × π
    -0.138580322265625 × 3.1415926535
    Λ = -0.43536292
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.125938415527344 × 2 - 1) × π
    0.748123168945312 × 3.1415926535
    Φ = 2.35029825147173
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.43536292} λ = -0.43536292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35029825147173))-π/2
    2×atan(10.4886975277427)-π/2
    2×1.47574291670375-π/2
    2.9514858334075-1.57079632675
    φ = 1.38068951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.43536292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.944458°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38068951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.107682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56454 KachelY 16507 -0.43536292 1.38068951 -24.944458 79.107682
    Oben rechts KachelX + 1 56455 KachelY 16507 -0.43531499 1.38068951 -24.941712 79.107682
    Unten links KachelX 56454 KachelY + 1 16508 -0.43536292 1.38068045 -24.944458 79.107163
    Unten rechts KachelX + 1 56455 KachelY + 1 16508 -0.43531499 1.38068045 -24.941712 79.107163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.38068951-1.38068045) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000
    dl = 57.721260000033m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.38068951-1.38068045) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000
    dr = 57.721260000033m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.43536292--0.43531499) × cos(1.38068951) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.188963788443847 × 6371000
    do = 57.7023660356723m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.43536292--0.43531499) × cos(1.38068045) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.188972685211641 × 6371000
    du = 57.7050827707462m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.38068951)-sin(1.38068045))×
    abs(λ12)×abs(0.188963788443847-0.188972685211641)×
    abs(-0.43531499--0.43536292)×8.89676779375348e-06×
    4.79299999999738e-05×8.89676779375348e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.89676779375348e-06×40589641000000
    ar = 3330.73167923806m²